PR.PR'= PM.PM'= PN.PN

ce qui démontre la proposition.

Cela posé, au lieu de donner les abscisses de deux points correspondants d'une involution, on peut se donner les coefficients de l'équation du second degré qui a pour racines ces abscisses. Soient

ax"'-^ 6a; -h c = o,

les équations définissant deux couples d'une involution; soit

cCx^'^Vx+d'^o

une équation définissant deux autres points. Pour que ces points soient deux points correspondants de l'involution déterminée par les deux premiers couples de points, il faut et il suffit qu'il existe des nombres A, B, G tels que

Donc

II en résulte

Aa — B6 -4- Gc = o, A a' B6' -t- Gc' = o, Aa"— B6"-hGc"=o.

„ff 7," „ii

«"= la-v- V a', b" = Ib -^ l' b' , c" = le -\-l'c',

/, V étant des constantes et, par suite, l'équation du second degré qui définit un couple variable de points correspondants est de la forme

(6) (aa^î-f- bx -¥■ c)-r- k {a x^ -^ b' x -\- c') = o,

X désignant un paramètre variable.

Réciproquement, étant donnée une pareille équation, on peut toujours déterminer A, B, C tels que l'on ait, quel que soit X,

ce qui exige que

Aa — B6-f-Cc = 0, Aa'— B6'h-Cc'= o,

et ce système détermine les rapports de A, B, G pourvu que «, 6, c ne soient pas proportionnels à a', b\ c' .

Enfin, nous allons encore traiter le problème suivant : Trouver un couple commun à deux involutions tracées sur une même droite.

Soient/?,/?' les points doubles de la première involution, q, q' les points doubles de la seconde et, enfin, soient m, m! deux points correspondants communs aux deux involutions. Les deux divisions (/>, />', m, m') et (<jr, q\ m, m') sont des divisions harmoniques; donc m et m' sont les points doubles de l'involution définie par les deux couples (p,p'), (q, q').

Il s'agit de savoir dans quel cas m et m' sont réels.

Soient, plus généralement,

ax^-i- bx -{- c = o, a' x^ -h b' X -¥- c' = o

les équations qui définissent deux couples de points donnés />,/>'; q, q'. L'involution définie par ces deux couples a pour équation

les racines de cette équation sont égales si

(6-+-X6')2— 4(a + Xa')(c-+-Xc') = 0.

Les points doubles m, m.' seront réels si les racines de cette équation sont réelles, c'est-à-dire si l'on a

{2ca'-\- -lac' — bb'Y— {b^ — ^ac) {b'- — -ia'c') > o.

Or, si l'on nomme Xt, x^ les abscisses des points/?,/?' et x^, xi, celles des points q, q', le premier membre de cette inégalité a pour valeur le produit

^a''-{a xl-h b Xs-h c ) {a x'I-h b x:,-^ c), ou le produit égal

4a* {a'xi-h b'xi-i- c') (a'xl + b'x^-h c'); d'où il résulte immédiatement que l'inégalité est vérifiée si l'un des couples

/>,/)' OU q., q' est composé de points imaginaires conjugués ou, si les deux couples sont réels, quand ils sont extérieurs ou intérieurs. L'inégalité est renversée quand, les deux couples étant réels, ils empiètent l'un sur l'autre, de façon qu'un seul des points appartenant à l'un des couples soit situé entre les points de l'autre couple.

317. Faisceaux en involution. — Soient OM, OM' deux droites variables issues d'un point fixe 0; m, m! étant les coefficients angulaires de OM et OM' par rapport à un système d'axes quelconques; si m et m' sont liés par une relation de la forme

(7) A-4-B(7?i-(-m')-t-C mni! = o,

on voit qu'à chaque position de la droite OM correspond une position unique et déterminée de OM' et réciproquement. En outre, si OM' prend une position OA.' quand OM coïncide avec une droite OA, quand OM coïncidera avec OA', OM' prendra la position OA. On dit que les droites OM, OM' forment un faisceau en involution. Il est clair que les rayons de ce faisceau tracent sur une sécante une involution ponctuelle. Réciproquement, si l'on joint à un point fixe les points correspondants d'une involution ponctuelle, on détermine un faisceau en involution. D'ailleurs, si l'on prend pour axe des ;j^ une parallèle à la droite sur laquelle est fixée la ponctuelle, l'origine w des segments de cette ponctuelle étant sur l'axe des x, le coefficient angulaire d'une droite OM étant précisément égal au segment wM, on a, entre les coefficients angulaires m, m', la même relation qu'entre les segments toM, wM', c'est-à-dire une relation de la forme indiquée plus haut (7).

D'après cela, la théorie des faisceaux en involution se ramène immédiatement à celle des ponctuelles en involution.

318. Gela posé, il revient évidemment au même de dire que deux droites OM, OM' sont deux rayons conjugués d'une involution, ou de dire que ces droites sont parallèles à deux diamètres conjugués d'une conique, comme cela résulte d'ailleurs delà forme de l'équation (7).

Les rayons doubles de l'involution formée par les diamètres conjugués d'une conique sont les asymptotes de cette conique.

Étant données deux coniques concentriques, pour trouver un système de diamètres conjugués communs, il suffit de trouver un couple de rayons correspondants communs à deux faisceaux en involution. Il résulte immédiatement de la discussion que nous avons faite plus haut que les rayons doubles de l'involution formée par les asymptotes des deux coniques seront réels si l'une des coniques est une ellipse ou si les deux coniques sont des hyperboles, pourvu que les asymptotes de l'une d'elles soient toutes les deux à l'intérieur de deux des angles opposés par le sommet, formés par les asymptotes de l'autre.

En particulier, si l'une des coniques est un cercle, les diamètres conjugués communs au cercle et à la conique seront réels; ce sont les axes de la

conique. On retrouve ainsi l'équation en S; en effet, les directions asymptotiques de la conique et celles du cercle étant définies par les équations

Xx^-h "iBxy -{- Cy^= o, x^-h^-xy cosd -i- jî= o,

on doit déterminer S de façon que

(8) Ax^-hiBxy-h Gy^— S{x*-i- f.xy cosQ-^y^) — o soit un carré parfait et, par suite, S doit être racine de l'équation

(9) (A — S)(C — S) - (B — ScosO)2=o.

Le polynôme (8) étant un carré, sa racine carrée est proportionnelle à chacune de ses dérivées et, par suite, les axes sont parallèles aux droites représentées par l'une ou l'autre des équations

(A — S)a:-+-(B — ScosO)^ = o, (B — S cose)a7 -h (G — 8)7 = 0,

dans lesquelles on remplace successivement S par les racines de l'équation (9).

Deux diamètres conjugués quelconques d'une conique forment avec ses asymptotes un faisceau harmonique, puisque les asymptotes sont les rayons doubles de l'involution déterminée par les diamètres conjugués.

On nomme hyperbole équilatère une hyperbole dont les asymptotes sont rectangulaires (nous verrons bientôt la raison de cette dénomination). Il résulte de ce qu'on vient de dire que les asymptotes d'une hyperbole équilatère sont les bissectrices des angles formés par deux diamètres conjugués quelconques. Il en résulte immédiatement que, si deux diamètres d'une hyperbole équilatère sont conjugués, les diamètres respectivement perpendiculaires aux premiers sont aussi conjugués et, réciproquement, si l'on peut trouver deux systèmes de diamètres conjugués (D, D') et (A, A'), D étant perpendiculaire à A et D' à A', la conique est une hyperbole équilatère.

Les asymptotes d'une hyperbole équilatère sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites isotropes. On peut énoncer ainsi cette proposition : la droite de l'infini coupe un cercle et une hyperbole équilatère quelconques en quatre points conjugués harmoniques; et, réciproquement, si les points à l'infini d'une conique sont conjugués harmoniques par rapport aux points cycliques, cette conique est une hyperbole équilatère. On peut encore dire que les droites isotropes menées par le centre d'une hyperbole équilatère forment un système de diamètres conjugués.

EXERCICES

1. Le lieu du centre des moyennes distances des points d'intersection d'une courbe algébrique et d'une sécante variable de direction donnée est une droite (diamètre de Newton). Examiner le cas d'une direction asymptotique. NiEWENQLOwsKi. — G. an., l. 18

2. Étant donnée une courbe algébrique, trouver le lieu du conjugué harmonique de l'infini sur chaque sécante parallèle à une direction donnée.

3. Soit M un point d'une courbe algébrique donnée. Le lieu des milieux des cordes parallèles à la tangente en M passe par ce point. Trouver le coefficient angulaire de la tangente en M à ce lieu.

4. Les ax.es étant rectangulaires, on considère la conique définie par l'équation

[(a; — a)2-(-(jK — 6)2— c-2j(i-+- m'^) — {y — /nx)^= o,

dans laquelle a, b, c sont des constantes et m variable. Montrer que l'axe de la parabole représentée par cette équation passe par un point fixe.

(Ecole navale.)

5. On donne une parabole et un point fixe dans son plan. Un angle droit se meut dans le plan de la courbe, de manière que le sommet de cet angle décrive la directrice de la parabole et que l'un de ses côtés passe constamment par le point fixe donné. On demande le lieu des milieux des cordes interceptées par la parabole sur l'autre côté de l'angle. Lorsque la position du point fixe varie, le lieu obtenu se modifie. Quelle ligne décrit le sommet de ce lieu, lorsque le point fixe décrit une perpendiculaire à l'axe de la parabole donnée? (École centrale, i865.)

6. Exprimer qu'une droite donnée par son équation est un axe de symétrie d'une conique.

— On identifie l'équation de la droite avec celle du diamètre conjugué à la direction perpendiculaire.