RÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ, AVEC DES AXES RECTANGULAIRES
Première méthode : par l'équation en S.
319. Nous supposerons les racines S,, Sa de l'équation en S distinctes. Supposons en outre, par exemple, S, ^ A. L'équation
(A— Si) a? -t- (B — Sicose)j= 0
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définit une direction principale. Prenons sur cette droite un point D à l'unité de distance de l'origine et soient (a, [3) les coordonnées du point D; soit de même E le point pris à l'unité de distance de l'origine sur la perpendiculaire menée par l'origine à la droite OD et soient a', ^' les coordonnées du point E. La direction OE est la seconde direction principale, qui correspond à S2. Prenons pour nouvel axe OX la demi-droite OD, et pour axe OY la demi-droite OE; les formules de transformation sont
a: = aX-+-a'V, j=^X-}-fJ'Y, ce qui donne
çp(a:,j) = ç(a, i3)X2-<-(a'cp;^-H P'ç'p) XY -i- cp(a', p') Y^ Nous savons que a'sa+ ^''f'i= o^ en second lieu,
Mais •i(a, jj) = t, donc cp(a, |^) = S,. Pareillement cp(a', ,3') = So et, par suite,
On peut remarquer que, pour faire cette transformation, il n'est pas nécessaire de calculer les valeurs de a et j3, mais seulement leur rapport, et de même à l'égard de a' et [^'.
Si S( = Si, en prenant pour nouveaux axes deux droites rectangulaires quelconques menées par l'origine, on a identiquement
of^, J) = A(X2+ Y2) ^ Si(X2H- Y2).
La transformation (1) est générale.
320. Conique à centre unique. — Considérons maintenant une conique à centre unique à distance finie, ayant pour équation
Nous cherchons d'abord les coordonnées J7o>>'o du centre, que nous
prenons pour nouvelle origine en conservant la direction des axes
primitifs ; nous posons a: = .Tq -h ^', jk =^0 + v', et nous obtenons
ainsi
Enfin nous ferons tourner les axes en appliquant la transformation précédente (i); les nouveaux axes de coordonnées seront les axes de symétrie et nous aurons l'identité
L'équation réduite est donc
SiX2+S,Y2h- 4 = 0.
321. Système de deux droites parallèles. — On transporte l'origine en un point quelconque (^ojJKo) de la ligne des centres en conservant la direction des axes primitifs, ce qui donne
Nous savons déjà calculer F< ; on a, par exemple,
F,= D^o-f-Ejo-i-F.
L'une des racines de l'équation en S, Si par exemple, est nulle. Changeant la direction des axes, l'axe OX correspondant à la racine nulle et OY à la racine S2, on obtient, en appliquant la formule (i),
/(x,j) = S2Y2+Fi.
L'équation réduite est donc
322. Parabole. — L'une des racines de l'équation en S est nulle, soit S, =: o. On a, comme on l'a vu,
Prenons pour axe OX la droite ayant la direction qui correspond à la racine nulle, pour axe OY celle qui correspond à Sa, l'origine étant conservée; on obtiendra ainsi
Mais il faut calculer les paramètres a, (3 et a', ^' des deux directions principales. En supposant A ^ o, on a
Aa4-B3 = o.
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Posons a = aB, ^ = — )^ A, et portons ces valeurs dans la relation
a«-+- p2-+-2apcosO = 1; on trouve ainsi
en posant
£=±i, H :^ + /a* -h B«— 2 AB cose = -i- /AtJ.
On a ensuite
(A — S2)a'+(B — S2COs8)P'= o,
d'où
a'= [jl(B — s, cosO), p'= - (;i(A— S2),
et, en tenant compte de la condition
a'2 i p'2| aa'P'cosO = i,
on obtient
AsinO /.»^-4 N
'^~'' R(Acos6 — B) ^' -^^
Les formules de transformation
^ = aX-i-a'Y, JK=PX+P'Y donnent
/(a^, jK) = SjYî-^ 2(Da -f- E^) X + 2(Da'+ Ep') Y + F.
Remarquons que le coefficient de X ne peut être nul, car il faudrait supposer
Da + Ep = o, Aa-hBp = o,
d'oîi l'on déduirait AE — BD = o; ce qui est contraire à notre hypothèse, puisqu'il s'agit d'une parabole proprement dile. La nouvelle équation est donc
S2Y2-f-2D,X-+-'2E,Y4-F =0 Dip^o).
Or on peut écrire ainsi cette équation :
par conséquent, si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point ayant pour coordonnées
en posant
X = Xi4-X', Y, ==y, + Y',
Téquation de la parabole prend la forme réduite
Il importe de remarquer que les coefficients de l'équation réduite sont les mêmes que ceux de l'équation obtenue après la première transformation, de sorte que, pour les obtenir, le calcul de a' et [S' est inutile; ce calcul n'intervient que pour la détermination des coordonnées X), Y), qui sont les coordonnées du sommet. Le nouvel axe des X' est l'axe de la parabole, l'axe des Y' est la tangente au sommet.
