DEUXIÈME MÉTHODE : PAR LA TRANSFORMATION DES COORDONNÉES
323. Si les axes auxquels la courbe est rapportée sont obliques, on peut d'abord remplacer l'axe des y par une perpendiculaire à l'axe des x menée par l'origine, en posant
a:* -(- jK cos6 = X, ^sinO=:Y.
Nous supposerons cette première transformation effectuée, si elle est nécessaire, et nous partirons de l'équation
A x^'+- ■2Bxy-+- Cy^ -h ■j.Dx -^ ■?. Ey -1- F = o, rapportée à deux axes rectangulaires.
324. 1° Conique à centre. — On transporte d'abord les axes parallèlement à eux-mêmes, de façon que la nouvelle origine soit le centre de la courbe donnée. La nouvelle équation sera, en désignant encore les nouvelles coordonnées par a), y pour simplifier l'écriture,
Ax--+- '2 B xf + Gy- -+- < — o.
Gela étant, faisons tourner les axes d'un angle a autour du centre
en posant
ir = Xcosa — Y sina, ^ = X sina -h Y cosa.
On obtiendra l'équation
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 279
si l'on pose
(i) A'= A cos^a -1- 2B sina cosa -i- C sin^a,
(2) C'=Asin*a — 2B sina cosa -+- G cos^a,
et si l'on détermine a en écrivant que le coefficient de XY est nul, c'est-à-dire
(3) (G — A) sina cosa -+- B(cos2a — sin^a) = 0.
En divisant le premier membre de cette équation par cos^a, on obtient une équation en tanga qui donne les coefficients angulaires des axes; équation que nous avons déjà obtenue plus haut. On peut procéder autrement; on déduit, en efi'et, immédiatement de l'équation précédente,
(4) lang2a= ^q-
Soit(f) l'un des angles ayant pour tangente ^; on peut supposer
que cet angle soit compris entre — 90° et + 90** : il sera déterminé par les Tables trigonométriques ; on aura ensuite
2a = ç -H A". 180", OU
ce qui donne, pour le nouvel axe OX, quatre directions correspondant aux angles
a, = 1®, aj = -1 çp H- 90", a3 = i<p-Hi8o°, a^ = i <f + 270".
Supposons que l'on ait adopté l'une de ces solutions et soit a l'angle choisi; il s'agit de calculer A' et C. On déduit des équations (i) et (2)
(5) A'-hG'= A-f-G, A'— G'=(A — G)cos2a-f-2Bsin2a. L'équation (4) donne
sinoa cos2a i , , ^
Tirant de ces équations sina a et cosa a, et portant les valeurs
aSo CHAPITRE XI.
trouvées dans l'expression de A' — G', on obtient
Connaissant a, on connaît les signes de sin 2 a et de cos 2 a, par conséquent e est déterminé.
Si, au contraire, on veut que A' — C ait un signe déterminé, on se donnera e et, par suite, les signes de sin 2 a et cos2a; on déterminera ensuite a par la condition que sin 2 a ait le signe voulu.
On peut encore remarquer que les équations (5) et (6) donnent
(7) A'G' = ÂG — B2.
Les formules (5) et (7) nous étaient déjà connues.
2° On procédera d'une façon analogue dans le cas de deux droites parallèles.
3" Parabole. — Nous supposerons l'équation de la parabole mise
sous la forme
{ax -\- byY-\- 2Da7-h2E7-t-F= o.
Faisons tourner les axes d'un angle a; en employant les formules de transformation connues, on obtient l'équation
[x' {a cosa -+- b sina) -\- y' {b cosa — a sina)]^
-t- 2(D cosa -HEsina)a7'-i-2(Ecosa — D sina)/'-!- F = o.
Nous déterminerons a par la condition que le terme en x'y' manque dans la nouvelle équation; pour cela, il faut et il suffit que le coefficient de l'une des variables manque dans le crochet. Nous poserons
a cosa -H 6 sina = o,
d'où
sina cosa i
En substituant dans l'équation précédente, on obtient
On sait déjà que le coefficient de x' ne peut être nul. On voit que
