TROISIÈME MÉTHODE : USAGE DES INVARIANTS

325. Conique à centre. — On transporte d'abord les axes au centre (aro,^o) sans changer leurs directions, en posant

x = xç,^x', y =70 + y,

ce qui donne, comme on l'a vu,

Cela étant, changeons la direction des axes et prenons pour axes de coordonnées les axes de la conique, ce qui donne une identité de la forme

(i) (f(a;',y)= A'X2-hG'Y2,

de sorte que l'équation de la conique sera

il s'agit de calculer A' et G'.

Pour cela, remarquons que si G est l'angle des axes primitifs

(a) a7'2-f- aar'^'cosO +y2=X2-4- Y2.

On déduit des équations (i) et (2), S étant un paramètre arbitraire,

(A — S)a;'2-T-2(B — ScosO)a:y+(G — S)y2=(A'— S)X2-t-(G'— S)Y2.

Mais le discriminant de ^{x',y)— ?)^{x\y) est un invariant; on en conclut que les équations

(A — S)(G — S)-(B — Scose)2^o, (A'— S)(G'-S) = o

sont identiques. Les racines de l'équation en S, relative à la conique donnée, sont donc précisément les coefficients A', G' qu'il s'agit de calculer. Soient Sj, S2 ces racines: posons A'= Si, G' = S2; on a ainsi

(A — Si)a7'2+2(B — SjC0se)a7y-)-(G— S,)y2 = (S2— Si)Y2.

Donc l'équation

(A — Si)a^'2+2(B — Sicose)a7y+(G — Si)y2=^o

représente deux droites confondues avec le nouvel axe des X. Le premier membre étant un carré parfait, sa racine carrée est identique, à un facteur prés, à l'une ou à l'autre de ses dérivées; par exemple, si A — Sj y^ o, l'équation du nouvel axe des X est

(A — Si)a7'+(B — SiCose)7'=o.

Si cette équation disparaissait, la dcmi-dérivée par rapport à y' se réduirait à (^G ^ S^jy\ et, par suite, le nouvel axe des X serait parallèle à l'ancien.

326. Deux droites parallèles. — Supposons A ^ o; la ligne des centres a pour équation

Ax -\- B^-H D = o.

En prenant cette droite pour axe des X, l'axe des Y étant une perpendiculaire, on aura, pour équation réduite,

S2Y2H-Fi = 0,

et nous savons que

Si l'on nomme id la distance des deux parallèles, on a

S^d^-h Fi = o, ou

ri d^- dA "^ dG "^ dB

cos6

sin^O Y)

dà d\ d\ dA âC dB

^ sin^e

donc