DEUXIÈME MÉTHODE : USAGE DES INVARIANTS
288. Formes réduites. — L'équation en S ayant toujours au moins une racine différente de îiéro, une quadrique quelconque a, comme nous l'avons déjà dit, au moins un plan principal à distance finie. Faisons un changement de coordonnées et prenons ce plan pour plan des x^y. L'équation de la surface sera alors, évidemment, de la forme
x',y',z' désignant les nouvelles coordonnées, cl g{x',y') un polynôme du second degré au plus.
1° L'équation g{x',y') = 0 est du second degré; supposons qu'elle représente une conique à centre; on peut rapporter cette conique à ses axes de symétrie, ce qui se fait par une transformation de coordonnées dans laquelle
la coordonnée z' ne change pas et, par suite la nouvelle équation sera, en posant, pour plus de symétrie, z' =■ Z,
K\ Z2 -^ Al X2 + A'i Y2 + Di = o.
Si la conique qu'on vient de considérer était un cercle, la surface serait de révolution, la réduction se ferait en prenant deux diamètres rectangulaires de ce cercle.
2° g(^x' y') — o représente une parabole. En rapportant cette parabole à son axe et à la tangente à son sommet, l'équation de la quadrique prendra
la forme réduite
A'iZ2 + A'iY2-4-2CiX = o.
3" g{x\y) — o représente deux droites parallèles. En prenant pour nouvel axe des Y la droite équidistante et pour nouvel axe des X une perpendiculaire, on obtiendra l'équation de la quadrique sous la forme
A"iZ2-+-A,X2-hDi =o.
4° g{^'i y') est du premier degré. Si l'on prend pour axe des Y la droite représentée par l'équation g{x\ y') = o, l'équation de la surface devient
A';Z2h-2GiX = o;
5° g{x\ y') est une constante : la réduction est toute faite et l'équation cherchée est de la forme
AÎZ2+Di = o.
Calcul des coefficients des formes réduites.
289. 1° Qiiadriques à centre unique. — La nouvelle origine est le centre de la quadrique ; on a donc d'abord
TT
/( 3^, JK, 3 ) = cp ( ip', y , 45' ) -f- - ; d'où
et en second lieu
cp(a7', /, z') = Al X2 -H A'i Y2 + A'( Z^. Donc
o{x\ y\ z')— S(a7'2 + j'2+ ^'2) = (Al - S) X2-f-(A', — S) Y2-i-( A'^ - S) Z2.
Si S = Aj, le second membre se réduit à une somme de deux carrés; donc Al est une racine de l'équation en S relative auxnouve aux axes : c'est donc une racine de l'équation en S relative aux premiers axes et, par suite, on peut poser Al = Si; de même A'i = S2, Aï = S3; Si, Sg, S3 étant les racines de l'équation en S. On voit en outre que
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 27 1
représente deux plans qui se coupent suivant le nouvel axe des X, car cette équation peut s'écrire
(S2-S,)Y2-^mS,-S,)Z2 = o.
Cet axe n'est pas autre choso que la ligne des centres de la quadrique dégénérée représentée par l'équation précédente; donc les équations
se réduisent à deux et représentent le nouvel axe des X. On détermine de la même manière les deux autres axes. L'équation réduite est
'j." Paraholoïdes. — On a
/(:r, y, z) ^ A'^ Y^-t- A'{ Z^-f- 2G1X. En menant par l'origine des parallèles aux nouveaux axes, on aura
<p(a:,7,z)-S(a72+j2 + z2)HH-Sy2 + (A',-S)y2^(A';-S)Z'2.
En appelant Si la racine nulle, on en conclut comme dans le premier ca?, A'i = S2, Aj = S3. Les équations
--i- — XZiX = 0, T- 2i5 V = O, V- — 2 0-3 = 0
dx dy -^ dz
se réduisent à deux et donnent la direction des nouveaux axes.
Nous savons calculer les coordonnées du sommet : on aura donc ainsi la nouvelle origine et, par suite, la position des nouveaux axes. Reste à calculer Cl. Or le discriminant H est un invariant; donc, si les axes primitifs sont rectangulaires, on a
— Li4 02O3 = xl .
D'ailleurs S2 et S3 sont les racines de l'équation
Nous poserons
A-f- A'-)- A" = M, a-H a'4- a"=: P, donc
On obtient pour Ci deux valeurs égales et de signes contraires, car la direction positive de l'axe des X n'est pas fixée.
On peut remarquer que le paraboloïde est elliptique si a -t- a'-(- a" > o, hyperbolique si a -f- a'n- a" -< o.
3" Cylindre elliptique ou hyperbolique. — En suivant la même marche
272 CHAPITKE XVII.
que dans les cas précédents on obtient, en supposant Si = o, la nouvelle origine étant un point quelconque de la ligne des centres,
Nous savons déjà calculer Dj. On peut procéder autrement; en remarquant que f(37, y, z, t) — Di ^^ est une somme de deux carrés, on voit que les mineurs du premier ordre du déterminant
sont nuls. On a d'après cela
d'où
D- Di
Di
du
Di
De même
En ajoutant ces équations membre à membre on obtient
dA
dH
dïi
dX"
D'ailleurs P ^ o, sans quoi l'équation en S aurait deux racines nulles, ce qui n'a pas lieu dans le cas d'un cylindre à centres.
En outre si l'on nomme b et c les demi-axes de la section droite du cylindre, on a
b^Si-hDi = o, C2S3-
d'où
62c2P = Df, et, par suite, on peut poser
Di=6cv/P,
ce qui nous donne l'égalité suivante
du dU dH , ^Jl
. ^ <^H dH dH . j r •
L expression h = —r -h -n-. -+- -m, qui reste constante quand on tait une
oA oA' d\ ^ ^
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 278
transformation de coordonnées en conservant des a\es rectangulaires, se nomme V invariant des cylindres. (Voir G. Darboux, Notes à la fin de la Géométrie analytique de Bourdon)
Nous admettrons que L est encore constant quand P = o, c'est-à-dire dans le cas du cylindre parabolique;
4° Cylindre parabolique. — L'équation réduite sera
SaZî+aCiX =0.
On a S3 = M et l'on peut calculer Ci en se servant de l'invariant L; on trouve
L= — MCf; d'où
L'équation réduite est donc
MZ2-+-2Si/ — ^X = o.
Autre calcul. — On peut mettre l'équation du cylindre sous cette forme :
(ax-\- by -f- c^)--4- iQx -h •ïQ'' y -+- -iC" z 4- D = o ou
Si le plan P est perpendiculaire au plan Q, P = o représente le plan principal et Q = o le plan tangent perpendiculaire au plan principal. On est ainsi conduit, comme dans le cas de la parabole (I, 284), à introduire une indéterminée X et à écrire l'équation
(«37-4- by -\- cz -{-"ky
-\- i{C — a\)x -^ i{C' - b\)y-+-2iC"—cl)Z'i-D — l'- = 0,
puis à poser
a(G -aX)+6(C'— 6X)+c(C"— cX) = o,
ce qui donne
. aC-j-bC-hcC ~ a^ , 62 -f- c2
L'équation du plan principal est donc
aC + bC-^-cC ax -+■ by -h cz -\ t- ; — = o.
Pour mettre l'équation du cylindre sous la forme Y^ — ip S. = o, posons
ax -+■ by -\- C2 -i-X = Y /a* -h 6*4- c«, ■i{C — a\)x -\- i^C — b\)y -\- i{C — c\)z
= 2 X /(G — aX)»4-(G'— 6X)2-1-(G''— cXT^ ; iNiEwiiNGLOWSKi. — G. an., III. 18
d'où l'on tire
v/(G — aX)2-4-(G'-èX)2 + (G'— cX)2
donc
Or, l'identité de Lagrange donne
(a2+62+c2)[(G — aÀ)2 + (G'-6X)2-i-(C"-cX)2] (aG'— èG)2 + (èG"— cG')2 + (cG-aG')S
(«G'— èG)2-^(èG"— cG')2 + (cG — «G')2
5° Système de deux plans parallèles. — L'équation en S a encore deux racines nulles; en transportant l'origine en un point du plan des centres et prenant l'axe des Z perpendiculaire à ce plan, l'équation prend la forme
