PREMIÈRE MÉTHODE ." TRANSFORMATION DE COORDONNÉES
281. Transformation auxiliaire. — L'équation (f{a:,j-,z) = o représente un cône si l'on suppose A^o. Dans ce cas, l'équation en S n'a pas de racine nulle; supposons ses racines distinctes :
264 CHAPITRE XVn.
Si, S2, S3. A chacune de ces racines coi-respond une direction principale dont nous savons calculer les paramètres principaux, puisque nous connaissons des nombres auxquels ils sont proportionnels. On peut donc, sans changer l'origine, choisir trois nouveaux axes de coordonnées rectangulaires ayant pour directions les trois directions principales obtenues, et, par suite, les formules de transformation
seront
X = fxx' -\- a' y' -h % z\
a, [i, Y correspondant à la racine S, ; a', [3', y' à la racine S2, et a", P", y" à la racine S3. On a ainsi
cp(a?, 7, z) = cp(aa7'+a'y-l-a"5', ^x' -^ ^' l' -^ P"-^', Y^' + t'j' "'" ï''-^') '
ou, en tenant compte des équations a'cp'^ -f- [î'cp'p + Y'?y ^= Oj • • • '
cp(a7,7, z) ^ cp(a, p, Y)a7'2+ ç(a', p', ^^')y2^ (p(a", p", y")^'^; mais
2cp(a, p,Y) = atfa-+- P?p-i-Y?y ^^SiC^^-^ P^"^T^) = ^^»' d'où
?(«, P>y) = Si.
De même
On obtient ainsi cette formule fondamentale
^(x,y, z) = Six'^ -+'Siy'^-^Ssz'^.
Le calcul subsiste sans aucune modification si A = o; dans ce cas l'une des racines, par exemple S3 = o, et l'on aura
'fi{x,y,z)-^ Sia7'2-+-S2/2.
Supposons, en second lieu, que deux racines soient égales, par exemple, S, = Sa. La direction Oz' est déterminée; soient a", P", y" ses paramètres principaux. On doit poser
ce qui exprime que Ox' doit être dans le plan passant par l'origine et perpendiculaire à O^'; on peut prendre pourOic' l'intersection de
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 205
ce plan avec un second plan quelconque et, par suite, poser
on a ainsi
np"- mf ~ If—nT." ma"— /p"
£ /(np"- mf )« 4- (//— rta")2-+- (/"a"— ^P')^ On détermine ensuite a', [i', y' en posant
Le calcul s'achève comme plus haut et l'on a
o{x,y, z) ^ S,(a^'2+y2) ^ Sas'^ Si Si ;= o, la formule se réduit à
Si le cône est isotrope, il n'j a pas lieu de faire cette transformation.
Remarque. — Dans chacune des transformations indiquées, la direction positive de chacun des nouveaux axes est indéterminée; on pourra la choisir de façon que les deux trièdres Oxyz et Ox^y^ Zt soient de même espèce.
282. Application. — Si l'on remplace S par une racine de l'équation en S, la forme
se change en une somme de deux carrés ; si les racines sont distinctes, il y a trois formes de décomposition distinctes : en effet, on a identiquement
cp(^,7,2)-S(:r2 + 72+z2)^(S,-S):r'2+rS2-S)7'2-f-(S3-S)V2.
Supposons Si < Sa <C S3. On a
? - S, <{. r^ ( S2 - S, )/2 + ( S3- S, ) z'^ ^= P2 -^ Q'-, © - Sî^l^ s^ (S, - Sî)a:'2 +(83- S2)s'2 ^ P'2— Q'2, tp — S3(;/-(S,— S3)a:'2-H(S2- 83)-'^= — P"^- Q"-,
P, Q, P', Q', P", Q" désignant des polj'nomes entiers eu a:, y, z, à coefficients réels.
On n'obtient une différence de carrés que si l'on remplace S par la racine moyenne.
On peut arriver directement à ces résultats. En effet, je dis d'abord qu'à deux racines différentes correspondent deux décompositions différentes. [Supposons, en effet, qu'on puisse écrire
cp — S <{; = eP2 -+-e'Q2,
on en déduirait
(S'— S)lL = £(P2— P'2) -4- £'(Q2 — Q'2).
On peut trouver une infinité de valeurs non toutes nulles de .r, y^ z pour lesquelles P — P' = o, Q — Q' = o ; pour un pareil système de valeurs, le premier membre s'annulerait, ce qui est impossible, puisque ^ ne peut être nul que si x =y := z = o.
On a donc trois formes possibles de décomposition; donc on peut poser
tp — Si<V= P2-f-Q2,
«p-Sîtl^^ P'2— Q'2,
Cp S3t|.ES-P"2-Q"2:
de là
On peut, pour une infinité de valeurs de x, y, ^, supposer P' = o, d'où l'on conclut So — S, > o. On verrait, par un raisonnement analogue, que S3 — S2 > o ; donc S, << So <C S3.
283. Rédaction de l'équation d'une quadrique à centre unique. — 1° Transportons d'abord les axes parallèlement à euxmêmes au centre (xq, j^o? ^0) en posant
ce qui donne, comme on l'a déjà établi,
/(^, J) -s) = ?(^', j'j -s') + ^• 2" On applique ensuite à o(x',y' ^ z') la transformation précé-
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 267
dente, en posant
a:'=aX + a'Y-4-a''Z,
y = px4-p'Y + p"z,
ce qui donne
cp (a-',/, 3' ) = Si X» -+- s, Y2 H- S3 Zî ;
on obtient ainsi
/(^,j.,z)^S,Xî+S2Y2-+-S3Z2-t-?.
284. Réduction de V équation d' un paraboloïde . — On suppose
1" On conserve l'origine et l'on prend pour directions des nouveaux axes trois cordes principales en posant
X = dx' -\- n! y' -\- Cl" z' , y = '^x'-^-^y-^^"z\ z =ya7'-H y'j'-f-Y''^';
ce qui donne, en supposant que la racine nulle soit S),
f{x,y, z) = S2/2 -I- Ss-s'^ + iCix'-^ 2G;/4- 2C'; 5'-+- D,
où
Cl =Ga + C'p + C"Y,
C',= Ga'+G'P'-f-G'Y', GÏ = Ga"'-+-G'P"-f-G''Y".
Je dis que C, est différent de zéro. En effet, nous supposons S, = o ;
donc
Aa +B''P-f-B'Y = o,
B'a + A'p-^BY =0.
On suppose AA' — B"^ ^ o ; si l'on posait en outre
GaH-G'p-+-G''Y = o,
on aurait A, = o, ce qui est contraire à notre hypothèse.
2" Cela posé, la section de la surface par le plan ^'03' = o est une conique à centre; on peut la rapporter à ses axes de sjmélrie.
Il suffît d'écrire
■ /(.,r,.)=.s.(y-.gy-.s3(.'+|y
-4- 2 Cl hr — — p^ + -p^
en faisant la transformation définie par les formules
•^ "^ s; ~ * ' ^ ^ si ~ '^' ^ ~ ^^Gis; ~ icTs; ^ ^ " '
on obtient
/(a7,JK,5) = S2Y2M-S3Z2^2CiX.
285. Réduction de V équation d^ un cylindre à centres. — 1° En conservant la direction des axes, prenons pour nouvelle origine un point quelconque [x^^ y^, z^), de la ligne des centres en posant
x = Xo-^x\ y=yf,-\-y, z — Zo-hz'; on obtient
où
Di 3= Ca7o -4- G'jKo + C'zo -+- D.
2° On prend pour nouveaux axes des parallèles aux cordes principales ; une racine de l'équation en S est nulle, supposons que ce soit Si- On aura, en suivant la marche indiquée au n° 280,
286. Réduction de Véquation d'un cylindre parabolique. — La fonction 'Z)[x.,y, z) étant un carré parfait, l'équation en S a une racine double égale à zéro : posons Si = So ^= o. A la racine S3 correspond une direction unique de cordes principales; je prends cette direction pour nouvel axe des z. Pour déterminer a, [3, y, je pose
cx"a^-p"pM-Y"Y=ro, Ga-}-C'p + C"Y=o
(de façon qu'en faisant la même transformation que pour un paraboloïde on ait Ci= o). Nous avons déterminé Os' et O^'; pour Oy'
RÉDUCTION DE l'ÉQUATIO.N DU SECOND DEGRÉ. 269
on prend une perpendiculaire aux deux premiers axes. On obtient ainsi
f{x,y,z)-^. S33'* -i- 1 C, y H- 9. G", z' -i- D. Or
ce qui nous conduit à faire une translation des axes en posant
et enfin
Gï ' JL G? Y
83"' ^ ^ iç.\ 2g;s3~ '
287. Réduction de l équation d'un système de deux plans parallèles. — L'équation en S a encore une racine double nulle; soient S| = S2 = o et S3 p^ o.
On transporte les axes parallèlement à eux-mêmes, en prenant pour nouvelle origine un point quelconque du plan des centres, ce qui donne
/(^,7, -s) = ?(^'j' -') + Di,
Dj = Cxq-\- G'^o -t- G"zo-+- D.
Enfin, en prenant pour nouvelles directions des axes trois cordes principales, on a immédiatement
/(:r,^,^)sS3Z2-t-D,.
