AD - C2 ^ AD

A'D — G'2 = A'Di,

^^'^^" ()A''t)A dAdX' N M ~ M-

en désignant par N le numérateur.

Si l'on nomme lof la distance des deux plans, on a

83^2+ Di =0 ou

Di = — M^2.

N = - M2rf2,

Donc

N se nomme l'invariant d'un système de deux plans parallèles. L'équation réduite est alors

La condition de réalité est par suite N < o.

RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SliCOM) l)i:(.lil':. 276

SOMMETS. — LONGUEURS DES AXES d'uNE QUADRIQUE DE LA PREMIÈRE CLASSE.

290. i" Ellipsoïde. — L'équation réduite d'une quadrique de la première classe est

SiX^-f-SîYî+SsZî-f- " =0.

Celte quadrique sera un ellipsoïde si les coefficients S,, S^, S;, ont le même signe. L'équation en S ayant ses trois racines réelles, le signe de ces racines sera déterminé en appliquant le théorème de Descartes.

Supposons donc que S,, Sa, S3 aient le même signe; l'ellipsoïde

sera réel si -- et S, ont des signes contraires. Chacun des axes

coupe la surface en deux points réels, symétriques par rapport au centre et qu'on nomme sommets. L'ellipsoïde a donc six sommets. La distance de deux sommets situés sur un axe se nomme la longueur de cet axe. Si l'on nomme 2a, 2^, 2 c les longueurs des trois axes, on a

d'où

Abi Ab2 AS3

l'équation de la surface peut donc se mettre sous la forme

-— + vr + — - I = o.

Si So Sa, S3 et — ont le môme signe, nous poserons et l'équation deviendra

Dans ce cas, l'ellipsoïde est imaginaire.

2" Ilyperboloïde. — Supposons en second lieu que deux racines de l'équation en S, par exemple S, et Sa, aient le même signe et que S3 ait le signe contraire. Alors, deux cas peuvent se présenter.

(a). S3 et — ont le même signe. L'axe des X et l'axe des Y coupent la surface en des points réels et l'axe des Z la coupe en des points imaginaires conjugués ; la surface a donc quatre sommets réels et deux sommets imaginaires conjugués. Nous poserons

de sorte que ia el ib seront les longueurs des axes réels et nous

appellerons 2 c la longueur de l'axe imaginaire. L'équation de la

surface est alors

cette surface est un hypevboloïde à une nappe.

[h). S3 et — ont des signes contraires; dans ce cas Taxe des Z seul

coupe la surface en des points réels. Cette surface a donc deux sommets réels seulement et deux paires de sommets imaginaires conjugués. Si nous posons

a' = Tp

ASi AS2 AS3

l'équation prend la forme

et représente un hyperboloide à deux nappes.