COS [J

cosX

202. On peut obtenir cette équation par une méthode géométrique, celle de Galois. Supposons l'équation de la quadrique rapportée à ses axes de symétrie

X+B + G-' = ^' et considérons la sphère concentrique ayant pour équation

Le cône ayant pour sommet l'origine et pour directrice la courbe d'intersection de ces deux surfaces a pour équation

Ce cône se réduit à deux plans quand on remplace R^ par A, B ou G et il est évident que pour ces valeurs de K^ la sphère est bitangenle à la quadrique. Rapportons la quadrique et la spiière à des axes quelconques passant par leur centre, mais pour plus de simplicité supposons ces axes rectangulaires; leurs équations seront

'^{x,y, 2) -H - =0, x^-k- y^-+- z^ — R- = o; le cône aura alors pour équation

-H ihyz -\- iB'zx -h aB'xy = o.

278 CHAPITRE XVII. — RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ.

Pour que ce cône se réduise à deux plans, il faut et il suffit que

Les racines de cette équation en R2 sont A, B, C. On retrouve bien l'équation déjà obtenue.

KXERCICES.

i. Deux quadriques homothétiques ont leurs axes parallèles et proportionnels. Examiner le cas de deux paraboloïdes homothétiques.

2. Exprimer que deux quadriques sont semblables et dans un rapport donné k de similitude. En particulier exprimer que deux quadriques rapportées à un système quelconque de coordonnées rectilignes sont égales.

3. Montrer qu'un paraboloïde elliptique peut être considéré comme la limite d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde à deux nappes dont un sommet réel et le plan tangent en ce point restent fixes, les longueurs des axes grandissant indéfiniment, mais les paramètres des sections principales contenant le sommet fixe ayant des limites finies.

4. Un paraboloïde hyperbolique peut être considéré comme la limite d'un hyperboloïde à une nappe dont un sommet réel et le plan tangent en ce point restent fixes, les longueurs des axes grandissant indéfiniment, mais les paramètres des sections principales contenant le sommet fixe ayant des limites finies.

5. Un cylindre parabolique peut être considéré comme la limite d'un paraboloïde dont un des paramètres croit indéfiniment, ou encore comme la limite d'un ellipsoïde de révolution aplati, dont un sommet d'une ellipse méridienne ainsi que le plan tangent en ce point restent fixes, les axes de cette ellipse grandissant indéfiniment, mais son paramètre ayant une limite finie.

6. Trouver le volume d'un ellipsoïde rapporté à trois axes de coordonnées quelconques.

7. Appliquer la réduction aux exemples donnés en Exercice au ChapitreXIII.