Les équations

(ai.r -f- biy -f- Ci z^-hia^x {ayx -4- a^y -+- a^zy-h {bix

représentent, si les axes sont rectangulaires, deux ellipsoïdes égaux, en supposant le déterminant des neuf coefficients différent de zéro. (Jacobi.)

-h Ci

zy-

bsy + Cizy =

zy

(Ci X -+-

Ciy -hC3^)-2 =

293. Définition. — On dit que deux points A, B sont conjugués harmoniques par rapport à une quadrique quand ils sont conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersection de cette quadrique et de la droite AB. L'équation de la quadrique étant /(^, y^ z, t) = o en coordonnées homogènes ou létraédriques, et les coordonnées de A étant Xq, yo, Zq, Iq', celles de B : ^, , j^i , 5, , f, ; les points d'intersection de AB et de la quadrique s'obtiennent en remplaçant dans les expressions Xo-i-KXt, . . ., X successivement parles racines de l'équation y'(.ro+ "kxi, yo+ ^-yi, ^0 + ^^t? ^0+ ^^^t )^ o. On en conclut, comme dans le cas des coniques, que la condition pour que A et B soient conjugués est

àf àf df df

' dxo -^ dfo àzo dto

PLAN POLAIRE d'uN POINT.

29i. Le lieu des conjugués d'un point A /?«;• rapport à une quadrique est en général un plan P, qu on nomme le plan polaire de A.

En effet, le lieu des conjugués de A(xo, j^o? ^o? '0) a pour équation

i)f df df df

dxo •" àfo dzo dfo

Le point A se nomme le pôle du plan P.

Rappelons que le plan de la courbe de contact d'un cône circonscrit à une quadrique est le plan polaire du sommet de ce cône par rapport à cette quadrique.

[1 résulte de la forme de l'équation obtenue, que le plan polaire d'un centre est à l'infini et que le plan polaire d'un point double est indéterminé.

Le plan polaire du point à l'infini dans la direction (a, ^, y) est le

plan diamétral conjugué à cette direction; c'est en effet le lieu des milieux des cordes parallèles à cette direction.

D'ailleurs, en écrivant l'équation du plan polaire de A sous la

forme

àf àf df , df

on voit que si l'on fait .Tq = a, yo = [S, Zq = ^; «o = o on obtient

df „ df Of dx ^ oy oz

295. Problème. — Trouve?^ le pôle 'd^un plan, par rapport à une quadrique.

Soit, en coordonnées homogènes,

u X + vy -\- w z -k- rt ^= o

l'équation d'un plan. Il s'agit d'identifier cette équation avec celle du plan polaire d'un point (.ro,yo? ~-oi h)

df df dt df

ôXq •" dy^j dzo dio

On obtient ainsi, en introduisant une inconnue auxiliaire 1 :

àf . àf . df . àf .

dxo àyo Ozq dtç,

ou, en développant,

A 370+ B"j^o + B'^o + G^o — lu = o,

B"xq-{- A'ro -t- Bso -t- G'^o — 1^' — o, (1) ■ , ^

' B'xq -+- B yo -+- .V Zo + G' io — '^ «' = o,

G 370+ G'^o + G"^o+ D to — 1 r = o.

Discussion : 1° H ^ o. — Quelle que soit la valeur attribuée à À, ce système d'équations détermine Xq, y^, ^o? ^0 en fonction de \. Donc, dans une quadrique proprement dite (ellipsoïde, hjperboloïde ou paraboloïde), tout plan a un pôle à distance finie ou infinie. Calculons les coordonnées de ce pôle. Si l'on nomme a, a\ . . ., b" , c, c', c", d^ (d = A) les coefficients des éléments de H, on trouve, en appliquant la règle de Cramer

llxo=:\{au A- h" V -\- b' w -^ cr),

Cl des valeurs analogues pour ro- ^'^'i appelanl — 1' (", <S «^ /'), comme nous l'avons déjà fait, le premier membre de l'équalion tangenlielle de la quadrique donnée, on obtient pour les coordonnées du pôle du plan (//, r, w, /■) les formules

l dF X ()F X (^F X (JF

2 11 OU "^ 2 H d^' 2 H aw 2 H or

On reconnaît ainsi que si un plan passe par son pôle il est tangent à la quadrique et le point de contact est le pôle.

Le pôle est rejeté à l'infini si ,~ =0, ou

eu H- c' i-' -r- c" iv -t- dr = o, c'est-à-dire quand le plan passe par le centre de la quadrique.

Pour mieux préciser ce résultat, considérons une quadrique à centre rapportée à son centre et ayant pour équation

Ax^-h A'y--\- iVz'^^ D = o.

11 s'agit d'identifier les équations

\xxo-h iVyyo-^' .V'zzo-h D = o,

ux-h- vy -+- wz -f- /• = o, ce qui donne

A-tq A'ro k" zt, D

T 1 - 1 .1 1 I / X I D« Dv Dw

Les coordonnées du pôle du plan («, v, w, r) sont donc -^ > tt~' T»~ »

on voit bien que le pôle est à l'infini, dans la direction conjuguée au plan donné, quand ce plan passe par le centre. Pour exprimer que le plan est tangent, il suffit d'écrire qu'il contient son pôle, ce qui donne l'équation tangentielle de la quadrique

S'il s'agit d'un paraboloïde

k' y^-\- A" z'^-r- 'XX = o,

on identifie

A' jvjo ■+- A-'zZo -f- ;r -f- a?o = o

avec l'équation du plan donné; on trouve ainsi

U Au Au

Le pôle est donc à l'infini si u = o, c'est-à-dire si le plan donné est parallèle

à l'axe du paraboloïde. L'équation langentielle est

2° H = o. — La quadrique a un ou plusieurs points doubles.

Supposons d'ïibord que la quadrique donnée n'ait qu'un point double et soient a?i, j-j, Zi, t\ les coordonnées de ce point. Des équations (i) on déduit

'^/ àf df df .,

ou

àf df df df . ,

^«^. -^'^»#;-^^«5t"^'"57; = "^("^'+'•^'-^"^^*-^''''^•■ Mais le premier membre est identiquement nul, puisque -^r— = o, ^r^- = o, ... ; d'autre part on doit supposer X ^ o, donc

uxi + vyi ■+- wzi + rti = o,

ce qui prouve que le plan donné doit passer par le point double. Dans ce cas les équations (2) se réduisent à trois comme on le voit en multipliant par a^o, .Xoj-^O) ^0) 6t ajoutant membre à membre. Il y a donc alors une ligne de pôles dont on obtiendra les équations en éliminant X.

Exemple. — Soit

Aa;2+ A'jk2 j A"^2 = o

l'équation d'un cône. Identifions l'équation du plan donné avec

A xxq h- A'jkj'o h- A" zzq = o ;

on doit poser r = o et l'on a ensuite

A 3^0 A>o A"zo ^ Il t» w '

en regardant .^0,^0; -^o comme des coordonnées courantes nous obtenons les équations de la ligne des pôles conjuguée au plan donné, ou polaire de ce plan.

Cas du cône isotrope. — La polaire du plan (a, v, w, o) par rapport au cône isotrope

a pour équations

c'est donc la perpendiculaire au plan donné.

On en déduit cette conséquence remarquable : la normale en un point d'une surface est la polaire du plan tangent en ce point par rapport au cône

isotrope dont le sommet est au point de contact. Celte remarque est utile dans les transformations homographiques.

Cas du cylindre. — Soit

Xx^-\- My^-^ D = o

l'équation d'un C} liiulrc. I-e plan polaire du point (j^oi y^i ^o) ^ pour équation

A xxo -f- Pi-'yyo + D = o,

il est parallèle à la ligne des centres; l'équation précédente ne dépend pas de Zq'. elle représente le plan polaire d'une parallèle à l'axe; le plan (a, V, w, r) ne peut avoir un pôle que si w = o, c'est-à-dire si le plan est parallèle à la ligne des centres; s'il en est ainsi on trouve une ligne de pôles ou polaire du plan; ses équations sont

Aa: A'^ D

si /■ = o, c'est-à dire si le plan passe par la ligne des centres; sa polaire est rejetée à l'infini.

Cylindre parabolique. — Soit

y^ — ipx = o

l'équation réduite d'un cylindre parabolique. Le plan polaire du point {xq, yç), Za) a pour équation yy^ — px — pxo= o; il est donc parallèle aux génératrices. Réciproquement la polaire d'un plan parallèle aux génératrices et représenté par

ux -h vy -\- r = o a pour équations

pv r

elle est donc parallèle aux génératrices et rejelée à l'infini si u = o, c'eàtà-dire si le plan donné est parallèle au plan principal.

En second lieu, si la surface a une ligne de points doubles, on voit, comme plus haut, que le plan polaire d'un point quelconque passe par la ligne des points doubles et réciproquement, à tout plan passant par cette ligne correspond un plan, conjugué harmonique du premier par rapport aux deux plans auxquels se réduit la quadrique. Les équations (2) se réduisent alors à deux et l'on obtient l'équation du plan conjugué au premier en éliminant X.

Rnfin, s'il y a un plan de points doubles, les quatre équations (i) se réduisent à une seule; le plan polaire d'un point donné coïncide avec le plan double et le pôle d'un plan coïncidant avec ce plan double est indéterminé.