POSITIONS RELATIVES DU POLE ET DU PLAN POLAIRE

29G. Théorème. — Quand un point se déplace sur un diamètre d'' une quadrique à centre unique, son plan polaire par rapport

à cet^e quadrique conserve une direction fixe, conjuguée à ce diamètre.

En effet, soient x^^ j>^oj ^o> ^o les coordonnées du centre de la quadrique ; a, [3, Y les paramètres du diamètre considéré. Un point quelconque de ce diamètre a pour coordonnées a^o + ^^a, j^o + ^^^> ^0 + ^^Yj ^0- Le plan polaire de ce point a pour équation

il est donc parallèle au plan diamétral conjugué à la direction

On peut préciser davantage. Prenons pour axe des x un diamètre et pour axes des j' et des z deux diamètres conjugués de la section de la quadrique par le plan diamétral conjugué à l'axe des x. L'équation de la quadrique sera de la forme

Aa72-i- A'jk2^ A"^^ i d = o.

Si l'on suppose le diamètre Ox réel, sa longueur -xa est donnée par l'équation Aa2 4 D = o. Le plan polaire du point {x^, o, o) a donc pour équation xXi^ — «2 — o. On verrait de même que si ce diamètre est imaginaire, le plan polaire aura pour équations xx^^ + «2 q^ Qgg équations se discutent comme celles relatives aux coniques.

Cas d'un paraboloïde. — Une sécante menée par un point M parallèlement à l'axe d'un paraboloïde coupe cette surface en un seul point A à distance finie, le second point d'intersection B étant à l'infini; il en résulte que le point A est le milieu du segment MM', M' étant la conjuguée de M. Réciproquement, si l'une des extrémités d'un diamètre mené par M est le milieu de MM', l'autre extrémité est à l'infini et la quadrique est un paraboloïde, en supposant qu'il s'agisse d'une quadrique a yant un centre unique à distance finie ou à l'infini.

Il convient de reprendre celte question par le calcul. Considérons une quadrique quelconque et prenons pour axe des x un diamètre, l'origine étant l'une des extrémités, à distance finie, de ce diamètre. Le plan tangent à l'origine a une direction conjuguée au diamètre qui y passe; on peut supposer la section par le plan tangent rapportée à deux directions conjuguées; l'équation de la quadrique sera de la forme

Aa^2{ pj y%j^ ^."^2 j 2Ga7 = o.

Le plan polaire du point (a^o, o, o) a pour équation

A a7.ro -f- G ( a? + a7o ) ~ o.

Cette équation se réduit à