X -+■ Xq = O

si A = o et réciproquement. La propriété considérée est donc une propriété caractéristique des paraboloïdes et du cylindre parabolique.

PROPRIÉTÉS DES POLES ET DES Pl.ANS POLAIIIES.

297. Théouèmes. — 1° Si le plan polaire d'un point m passe par unpoint p, réciproquement le planpolaire de p passe par w, car m et p sont conjugués.

Corollaire. — Le pôle du plan passant par trois points a, b, c est le point commun aux plans polaires de ces trois points.

2° Si un point m se déplace dans un plan P, son plan polaire M pivote autour de p, pôle de Pet réciproquement, si un planM pivote autour d'un point p, son pôle m se meut dans le plan V, polaire de p.

Mêmes démonstrations que pour les coniques (t. I, p. 4i5)-

Droites conjuguées.

298. 1° Si un plan tourne autour d'une droite D, son pôle décrit une droite Di; 2° si un point se meut sur Dj, son plan polaire tourne autour de D; 3" si unpoint se meut sur D, son planpolaire tourne autour de D, ; 4" si un plan tourne autour de Di, son pôle décrit la droite D.

En effet : i" Soient a, b deux points de D et A, B leurs plans polaires par rapport à une quadrique donnée. Si un plan passe par a, son pôle est dans le plan A; s'il passe en outre part, son pôle est dans le plan B; il est donc sur la droite Dj, intersection des plans A, B.

2° Un point m de Di est dans le plan A, donc son plan polaire passe par a; m étant aussi dans le plan B, son plan polaire passe par b. Donc M, plan polaire de m, contenant a cl b contient la droite D.

Si l'on considère deux points ai, bi de D|, leurs plans polaires Ai, B| se coupent suivant D; cette remarque suffit pour établir les deux, dernières parties.

On peut donner aux démonstrations précédentes une autre forme. Soient Xq, yo, Zo, <o et ^> ^> ^> '> 'es coordonnées de deux points a, b de D. Le plan polaire d'un point quelconque m de D, m ayant pour coordonnées XQ-hlxi, yo-^ ^yu • . -, a pour équation

P„H-XP, =0,

Pq = o et Pi = o étant les plans polaires de a et 6; ce qui démontre la troisième partie et prouve, en outre, que, si m décrit D dans un certain sens, son plan polaire M tourne autour de Dj dans un sens déterminé, qui sera renversé si m décrit D en sens contraire. La quatrième partie se trouve ainsi établie.

En second lieu, les plans polaires de quatre points Xj, "ki, X3, X^ de D ayant pour équations Pq -r- Xi Pi = o, Pq + X2 Pi = o, . . . , on obtient ce théorème important :

Le rapport anharmo nique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique de leurs plans polaires par rapport à une quadrique quelconque.

Soient Uq, Vq, Wq, r^ et «i, Pi, Wj, ri les coordonnées de deux plans Mq, Mi passant par D; un plan quelconque M, mené par cette droite, a pour coordonnées Mo + Xmi, Po + ^ ^1) «'o -+- X np-i, ro-f-X/'i-Si F(m, (^, w, r) = o est l'équation tangentielle de la quadrique donnée, le pôle du plan défini donné par l'équation

( Mo ^- X «1 ) ^ H- ( Pn ^- X Cl ) ^ -t- ( (Vo + X tVi ) ^ -4- ( /'o H- X /'i ) if = o

a pour coordonnées ponctuelles

^F . d¥ àY . d¥ dV . d¥ d¥ . dV

-r hX— -, hX-^, hX- — , 4-X-— ,

ouq oui ovo ovx dwo owi or ori

c'est donc un point m de la droite passant par les pôles mo, nii des deux premiers plans Mq, Mi ; si M tourne toujours dans le même sens autour de D, ni décrit Di tout entière dans un sens déterminé ; les deux autres parties sont ainsi démontrées.

299. Théorème. — Le lieu des pôles d'une droite D par rapport aux sections obtenues en coupant une quadrique Q par des plans menés par D est la droite Di conjuguée de D par rapport à Q.

En effet, les plans polaires de tous les points de D passent par le pôle p de cette droite par rapport à l'une quelconque des sections considérées, puisque ce pôle et un point quelconque de D étant conjugués par rapport à la section sont aussi conjugués par rapport à la quadrique. On voit ainsi que, si 5 est le sommet du cône circonscrit le long de cette section, la droite Di est la droite ps.

300. Positions des droites D e^ Di. — Menons par D un plan diamétral de la quadrique Q et prenons pour axe des x le diamètre de la section qui est conjugué à la direction de D, l'axe desjK étant la tangente à l'une des extrémités de ce diamètre; enfin, l'axe des z ayant une direction conjuguée au plan diamétral considéré. L'équation de la quadrique est alors

Aa72-f- A'72 -H A"z^--i-'2Cx = 0;

et les équations de D étant

5 = 0, 37 = Xq-

La droite conjuguée Dj, intersection des plans polaires de deux points de D, a pour équations

Xxxo-\- C{x -{- Xo) = o, ^ = 0.

On voit ainsi que D et Dj rencontrent un diamètre, qu'elles partagent harinoniquement, et de plus elles ont des directions conjuguées par rapport aux sections faites par des plans parallèles au plan tangent mené à l'une des extrémités du diamètre considéré. C'est ce que l'on voit très simplement par la Géométrie.

En particulier, si D est tangent à la quadrique, Di passe par le point de contact de D et est aussi tangent à la quadrique.

Dans le cas d'un ellipsoïde, pour obtenir deux droites conjuguées il suffit de couper cet ellipsoïde par un plan diamétral, de tracer le diamètre conjugué et de mener par deux points divisant ce diamètre harmoniquement deux droites D, Dj parallèles à deux diamètres conjugués de la section diamétrale.

Dans le cas d'une sphère, on partagera un diamètre harmoniquement, et, par les points obtenus, on mènera deux droites perpendiculaires entre elles et perpendiculaires à ce diamètre.

Autre construction. — La droite Dj, conjuguée de D, peut encore être obtenue autrement : Di passe par les points de contact des plans tangents menés par Y) à la quadrique.

En effet, le plan polaire de chacun des points d'intersection de D, avec la quadrique Q est tangent à cette quadrique et passe par D, et réciproquement le point de contact de tout plan tangent mené à Q mené par D est sur Dj .

On retrouve ainsi cette proposition : on peut mener par une droite D deux plans tangents à une quadrique. Ces deux plans peuvent être réels ou imaginaires; ils sont confondus en un seul si D est tangent à la quadrique, car D| est alors aussi tangente.

301. Plans conjugués. — On dit que deux plans P, V sont conjugues par rapport à une quadrique quand le pôle de l'un est sur l'autre. Soit F(m, V, w, r) = o l'équation tangcntielle de la quadrique (supposée non développable) et soient u, v, w, r et u' , v' , w'^ r' les coordonnées tangentielles des

deux plans; le pôle du premier a pour coordonnées ponctuelles ;t— ' -j" j

-7—. T— ; ce point est dans le second plan si dw or

.d¥ ,dY , d¥ ,d¥

u \-v hW -; \- r —-=0.

du ov ow or

S'il en est ainsi, réciproquement, le pôle du second plan est dans le premier.

La condition précédente peut s'écrire

302. Les plans tangents menés à une quadrique par l'intersection de deux plans conjugués sont conjugués harmoniques par rapport à ces deux plans et réciproquem.ent.

En effet, l'équation

détermine les plans tangents menés par l'intersection des deux plans P, P'; la condition nécessaire et suffisante pour que les plans correspondant aux deux racines X', X" de celte équation forment avec Pet P' un faisceau harmonique est X'-t- X" = o; ce qui donne

,dY ,dY ,dY ,dY

ou ov ow or

EXERCICES

1. Étant données deux droites D, D, conjuguées par rapport à une sphère, les sections de cette sphère par un plan quelconque passant par D, et par un plan quelconque passant par Di, sont des cercles orthogonaux; en faisant varier les plans, on obtient ainsi deux familles de cercles orthogonaux tracés sur la sphère.

Montrer que, réciproquement, si deux familles de cercles orthogonaux sont tracées sur une même sphère, ces cercles peuvent être obtenus par le mode de génération précédent.

2. Transformer par inversion la propriété précédente, le pôle d'inversion étant un point de la sphère.

3. On considère le cône ayant pour sommet un point A et pour directrice une section plane d'une quadrique; montrer que ce cône coupe la quadrique suivant une seconde courbe plane; connaissant l'équation du plan P de la première conique, trouver celle du plan Q de la seconde; prouver que le plan polaire de A et le plan passant par A et par l'intersection des plans P et Q forment un faisceau harmonique.

4. Dans l'exemple précédent, si le plan P enveloppe une quadrique donnée, trouver l'enveloppe du plan Q.

f). On (lit qu'un tétraèdre est conjugué à une quatirique donnée ou que la quadriquc est conjuguée au tétraèdre, si chaque sommet est le pôle du plan de la face opposée. Former l'équation générale des quadriques conjuguées à un tétraèdre pris pour tétraèdre de référence.

6. Former l'équation tangentielle d'une quadriquc rapporlt-e à un tétraèdre conjugué.

7. Exprimer qu'une quadriquc rapportée à un tétraèdre conjugué est tangente à un plan donné. En conclure que les quadriques conjuguées à un tétraèdre donné et ayant un plan tangent commun ont sept autres plans tangents communs. Etudier les cas où certains de ces huit plans sont coïncidents.

8. Lieu des pôles d'un plan donné par rapport aux quadriques conjuguées à un tétraèdre donné et tangentes à un plan donné. Lieu des centres de ces quadriques.

9. Lieu des pôles d'un plan donné par rapport aux paraboloïdes conjugués à un tétraèdre donné.

10. Appelons : 1° indice d'un point, par rapport à une surface du second degré, le rapport des distances de ce point et du centre de la surface au plan polaire de ce point; 2° indice d'un plan le produit des dislances du pôle du plan et du centre de la surface à ce plan ; 3° indice d'une droite le rapport que l'on obtient en divisant le carré de la demi-corde déterminée par cette droite, dans la surface, par la quatrième puissance du demi-diamètre parallèle à la droite.

On demande de trouver d'autres expressions pour la valeur de ces indices.

(Faure.)

11. Lorsqu'une quadriquc est conjuguée à un tétraèdre : i" la somme des carrés des demi-axes est égale à la somme des inverses des indices des arêtes du tétraèdre; 2° la somme des carrés des inverses des demi-axes, prise en signe contraire, est égale à la somme des inverses des indices des faces du tétraèdre; 3" le produit des carrés des demi-axes, pris en signe contraire, est égal au produit des inverses des indices des sommets du tétraèdre, multiplié par trente-six fois le carré du volume du tétraèdre. (Faure.)

12. On donne une quadriquc et un plan. Si l'on prend dans ce plan trois points conjugués à la surface, la somme des inverses des indices de ces points est égale à l'inverse de l'indice du point où le plan est rencontré par le diamètre qui lui est conjugué. (Faire.)

13. Une quadriquc étant conjuguée à un tétraèdre, la somme des inverses des indices des centres des sections déterminées dans la surface parles faces du tétraèdre est égal à — 3. (P'aure.)

ii. On donne une quadriquc et un tétraèdre abcd\ si l'on désigne par A,

13, C, D les faces de ce tétraèdre opposées aux sommets a, 6, c, d et par A'

!>/ /-./ lA/ 1 I 1 • j 1 V cos(A, A') ,

li , L , D les plans polaires de ces sommets, la somme > -^ — dans

NcEWENGLOWSKi. — G. an , IIL 19

agO CHAPITRE XIX.

laquelle o est le centre de la quadrique est constante. On désigne par (a, A) la distance de a à A, .... (Fa lue.)

15. On donne un tétraèdre conjugué à une quadrique. Si l'on désigne par I l'indice, par rapport à la quadrique, du centre d'une sphère inscrite au tétraèdre, et par Rie rayon de cette sphère, l'expression — a la même valeur pour toutes les sphères inscrites au tétraèdre.

16. On donne une quadrique et deux droites L, M. Sur L on prend deux points arbitraires a, b et l'on trace les plans polaires de ces points, qui coupent M en c et c? et le diamètre parallèle à M en e et f. L'expression

Oe.Of. ; dans laquelle 0 désigne le centre de la quadrique, est con-

cd stante. (Faure.)