POLAIRES RÉCIPROQUES
303. Surfaces polaires réciproques. — L'enveloppe des plans polaires des points d'une surface non développable S par rapport à une quadrique D est une surface non développable S', car le plan polaire d'un point de S dépend de deux paramètres; je dis que réciproquement la surface S est l'enveloppe des plans polaires des points de S' par rapport à la même quadrique directrice.
En effet, soient a, b, c trois points de S et A', R', G' leurs plans polaires ; le point m' commun à ces trois plans est le pôle du plan abc. Si 6 et c viennent se confondre avec a, le point m' a pour limite le point de contact a' du plan A' et de la surface S', et, d'autre part, le plan abc devient le plan tangent en a à la surface S; on voit ainsi que S peut être considérée comme étant l'enveloppe des plans polaires des points de S'; il y a donc réciprocité.
La démonstration précédente suppose que S ne soit pas une surface développable; voici une nouvelle démonstration, qui fera nettement ressortir cette hypothèse.
Supposons les coordonnées x, y, z d'un point quelconque m de S exprimées au moyen de deux variables indépendantes m, v\ et soient
x = f{u,v), y=^fi(u,i>), z^fi{u,v).
Si l'équation de la quadrique D est ¥{.t, y, z^ t) = o, les coordonnées du
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point de contact m' du plan polaire de m avec son enveloppe sont déterminées par les équations
àj àV f]^ àV dfi dV
du dxi du dyi du dzi '
^/ iE <^A <^F àFj dF
dv dxi di^ dyi dv dzi
Le plan polaire de m' par rapport à D a pour équation
dF
dF
dF
^ dxi ^àfi '^ " dzi
dF df.
Si l'on élimine Xi, yi, Zi, ti entre les équations (1), (2), (3), (4 )) on obtient
l'équation
x — f{u,v) y~fi(,u,v) z — f2iu,v)
df àf^ dj^
du du du
àf àf, djj.
dv dv dv
qui représente le plan tangent en m à la surface S.
Les deux surfaces S, S' sont dites polaires réciproques par rapport à la quadrique D.
30i. Etant donnée l'équation d'une surface non développable, trouver celle de sa polaire réciproque.
Soient «p(K, v, tv, r) = o l'équation tangenlielle d'une surface non développable, et /{x, y, z, t) = o l'équation ponctuelle de la quadrique D; enfin, soient x, y, z, t les coordonnées d'un point quelconque m de la polaire réciproque S'.
On obtiendra l'équation ponctuelle de S', en exprimant que le plan polaire de m par rapport à D est tangent à S, ce qui donne immédiatement
On voit ainsi que la polaire réciproque d'une quadrique est aussi une quadrique.
303. Polaire d'une sur/ace développable. — Nous définirons la surface ])olaire d'une surface développable comme étant le lieu des pôles des plans tangents à cette sur/ace. D'après cela, soient
o{u,v,w,r) = o, Oi{u,v,w,r) = o
les équations tangentielles d'une surface développable. En écrivant que le plan polaire d'un point x, y, z, t par rapport à la quadrique D est tangent à
celte surface, on obtient les deux équations
"îifx, fy, fz, ft) = 0, ^lif'x, fy, fz, ft)=^0.
La surface polaire d'une surface développable est donc une courbe. Dans le cas d'un cône, si l'on prend son sommet pour origine, les équations tangentielles de ce cône étant
la polaire aura pour équations
ft = o, ?(/r. /j> /:) = o;
ce sera donc une courbe plane, ce qui est d'ailleurs évident, parce que les plans tangents au cône passant par un point fixe, leurs pôles sont dans un plan fixe. La proposition s'étend à un cylindre.
En particulier, la surface polaire d'un cône du second degré est une conique.
306. Polaire d'une courbe. — Nous appellerons sur/ace polaire d'une courbe l'enveloppe des plans polaires des points de cette courbe. Les points d'une courbe G dépendent d'un seul paramètre, il en est de même des plans polaires des points de cette courbe et, par conséquent, l'enveloppe de ces plans est une surface développable S'.
Cette proposition peut être considérée comme étant la réciproque de la précédente.
Il convient de préciser davantage.
Soient ni, p deux points de G ; l'intersection des plans polaires M', P' de ces deux points est la droite conjuguée de mp. Si p s'approche indéfiniment de m en restant sur G, la sécante mp a pour limite la tangente en m à G, et l'intersection de M' et P' a pour limite la tangente en un point m de l'arête de rebroussement G' de la développable S'; le plan M' est le plan osculateur de G' en m! . Je dis que, réciproquement, le plan polaire de m! est le plan osculateur M de G en m. En effet, si l'on cherche la polaire de G', on trouvera une surface développable S telle que les tangentes à son arête de rebroussement soient les conjuguées des tangentes à G'; l'arèle de rebroussement de S est donc bien la courbe G elle-même.
On peut d'ailleurs obtenir ces résultats très simplement par le calcul. Soient, en effet,
^ = /("), r-=/i("), -=Mu)
les équations définissant, au moyen d'une variable m, un point ni de la courbe G et F(a7, y, z, t) — o l'équation de la quadrique D. L'enveloppe du plan polaire du point m est définie par les deux équations
/ N /•/ ^ ^F ^ / ^ '^F ^ ^ ^àF ÔF
(0 /(")^^+/>^")j^-/^(")di^^-
,. ÔV
,, dF „ dF dF
-Y hZ — -f- --- = o.
dx
dy dz dt
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Si à ces équations on adjoint la suivante
(3) /"(«)^-^/^(«)jî;--/^(".'^="'
le système de ces trois équations définit l'arête de rebroussement de la surface développable S', représentée par les équations (i) et (2).
Les coordonnées d'un point de cette arête étant représentées par x, y, z, l, le plan polaire de ce point a pour équation
En éliminant x, y, z, t entre les équations précédentes, on obtient aisément l'équation
