X-/(«) Y-/,(«) Z-Mu
fiu) f[{u) fl(u)
qui représente le plan osculateur au point m de la courbe G.
La tangente à l'arête de rebroussement G' de la surface S' est définie par les équations (1) et (2), qui représentent : la première, le plan polaire de m et, la seconde, le plan polaire du point à l'infini sur la tangente en m à G ; les tangentes en des points correspondants des courbes G et G' sont donc conjuguées.
Nous dirons que la courbe G et la surface développable S' sont polaires réciproques, ainsi que la développable S et la courbe G'.
En résumé, aux points de G correspondent les plans osculateurs de G', et réciproquement, et aux tangentes de G correspondent les tangentes de G'. Gette dernière remarque est très importante en Géométrie réglée.
307. T11É0RÈ.ME. — Le degré dune surface non développable est égal à la classe de sa polaire réciproque.
En effet, aux points d'intersection d'une surface non développable S par une droite A correspondent les plans tangents menés à sa polaire réciproque S' par la droite A' conjuguée de A, par rapport à la quadrique directrice. En appelant m et |ji le degré et la classe de S, m' et \x' le degré et la classe de S', on a donc m = (jl', /n'= [x; on verra, comme en Géométrie plane, qu'on ne peut avoir iji = m{m — i) et fx'= m'(m' — 1) que si m = ni' = 1.
Aux points d'intersection d'une courbe G et d'un plan P, correspondent les plans tangents menés à la développable polaire réciproque de G par le pôle />' du plan P; donc la classe d'une surface développable est égale à l'ordre de sa courbe polaire réciproque, l'ordre d'une courbe étant égal au nombre de points de rencontre de cette courbe et d'un plan quelconque.
Ainsi, la polaire réciproque d'une conique est un cône du second degré.
308. Théorème. — Dans la transformation par polaires réciproques, à quatre points en ligne droite correspondent quatre plans passant par
une même droite^ et dont le rapport anharmonique est le même que celui des quatre points donnés.
Cette proposition importante, que nous croyons devoir rappeler ici, a déjà été établie au n" 298.
309. Interprétation des équations en coordonnées tangentielles. — Le pôle du plan ayant pour équation
ux -\- vy -{- w z -h rt = o,
par rapport à la quadrique imaginaire ayant pour équation
a pour coordonnées u, v, w, /■; donc la surface ayant pour équation tangen-
tielle
est la polaire réciproque, par rapport à la quadrique directrice imaginaire considérée, de la surface dont l'équation ponctuelle est
On peut d'ailleurs construire la polaire réciproque par rapport à la quadrique réelle ayant pour équation
et construire ensuite la symétrique de la figure obtenue par rapport à l'c^rigine des coordonnées.
Cherchons par exemple ce que représente l'équation /{u, v. w) ■= o, dont le premier membre est homogène. L'équation f{x,y,z) — o est un cône ayant son sommet à l'origine; la polaire réciproque de ce cône est donc une conique dans le plan polaire de l'origine par rapport à la quadrique directrice considérée plus haut. Si les axes sont rectangulaires, cette quadrique est une sphère imaginaire; tout plan passant par son centre a pour pôle un point à l'infini dans la direction perpendiculaire à ce plan. On nomme cône supplémentaire d'un cône donné le lieu des perpendiculaires aux plans tangents à ce cône menées par un point. On voit ainsi que l'équation f{u, V, w) — o représente, quand les axes sont rectangulaires, la conique intersection, par le plan de l'infini, du cône ayant pour sommet l'origine et supplémentaire du cône ayant pour équation /( a;, jk, z) = o.
Supposons toujours les axes rectangulaires et considérons le cône isotrope
dont l'équation est
Tout plan tangent à ce cône est isotrope; la perpendiculaire à un de ces plans, menée par l'origine, se confond avec la génératrice de contact; donc le cône supplémentaire se confond avec le cône proposé. Il en résulte que
l'OLAIUES RÉCIPROQUES. 296
est, en coordonnées tangentielles rectangulaires, l'équation du cercle de r infini.
Considérons encore une quadrique O, coupée par un plan P; soient (1 la conique d'intersection et F le cône circonscrit à cette quadrique le long de G et dont le sommet est le pôle p de P. Transformons, en prenant pour quadrique directrice la quadrique imaginaire x^-\- y'^-h z^ -{-i =^0. S.\& conique G correspond un cône F' circonscrit à la polaire réciproque Q' et ayant pour sommet le point /?', pôle de P. Soient u^x -k- Vf^y -^ w^^z -\- fq^^ o l'équation du plan P, et F(m, c, w, r) = o l'équation langentielle de la quadrique Q; les coordonnées ponctuelles de p' sont «oj <'0) ^vq, To," l'équation ponctuelle de Q' est ¥{x,y, z, t) = o, et le cône F' a pour équation
^F{x,y, z, t) F{uo, Vo, »'o, To) — («oF'^ M- t'oF^. + (v^F; -+- roF'iY = o,
donc l'équation tangentielle de la conique G est
4F(m, c, w, r) F (Mo, «'o, wo, r„) — (moF'„ + t'oF,', r- h^oF',v -^ /•oF',.)2= o,
équation que l'on peut obtenir directement, en exprimant que l'intersection des deux plans {u,v,w,r), (uq, Vq, Wq, ro) est tangente à la quadrique donnée (148).
L'équation obtenue exprime que le plan (m, i>, w, r) est tangent à la conique G; si on l'applique au plan («, v, o, /•), c'est-à-dire si l'on fait w = o dans l'équation précédente, on aura l'équation tangentielle du cylindre parallèle à l'axe de z mené par G ou, ce qui revient au même, l'équation tangentielle dans le plan xOy de la projection sur ce plan de la conique G, faite parallèlement à O^. G'est ce qu'on peut encore expliquer ainsi : en faisant z = o dans l'équation du cône F', on a l'équation de la section de ce cône par le plan xOy; or, au plan ^ = o correspond le point à l'infini dans la direction Oz, soit w = 0; donc à la conique section du cône F par le plan xOy correspond bien le cylindre parallèle à Oz, mené par G.
Glierchons enfin la condition pour que l'équation langentielle
représente une conique. La condition pour que /(or, y, z, t) = o représente un cône est que le hessien de la forme /(x,y,z, t) soit nul; donc, pour que l'équation tangentielle donnée représente une conique, il faut et il suffit que le hessien de son premier membre soit nul.
EXERCICES
1. Les polaires réciproques de toutes les surfaces passant par une même courbe sont inscrites à une même développable. Application aux quadriques et en particulier aux sphères.
2. Les polaires réciproques de toutes les surfaces inscrites à une même développable ont une courbe commune. Application aux quadriques.
2q6 CHAPITRE XX.
3. Faire la discussion de la polaire réciproque d'une quadrique par rapport à une quadrique directrice D.
4. Conditions pour que la polaire réciproque d'une quadrique Q, par rapport à une quadrique donnée D, soit la quadrique Q elle-même.
5. Trouver les quadriques D telles que la polaire réciproque d'une quadrique donnée Q par rapport à D soit une quadrique donnée Q'. — On considère le tétraèdre conjugué commun à Q et Q', etc. (voir n° loS).
6. Étant données deux quadriques polaires réciproques par rapport à une sphère, trouver une relation entre le cône des directions asymptotiques de l'une d'elles, et le cône circonscrit à l'autre, et ayant pour sommet le centre de la sphère directrice.
7. La polaire réciproque d'une surface réglée est une surface régL'e.
8. Deux tétraèdres de volumes V et V étant polaires réciproques relativement à une surface du second degré dont les demi -axes sont a, b, c; si l'on appelle Vj, Vj, V3, V4 les volumes des quatre tétraèdres que l'on obtient en joignant le centre de la surface aux sommets de V, on a
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