TRANSFORMATION DES COORDONNÉES BECTILIGNES
formé par les demi-axes positifs nouveaux. La position du second trièdre sera déterminée si nous connaissons les cosinus directeurs de chacune des demi-droites Ox,, O^i, O^i relatifs aux anciens axes.
II est commode de faire usage du Tableau suivant :
Ox
Oz
Osi
Fis.
dans lequel le cosinus de deux demi-droites se trouve inscrit à l'intersection de la ligne et de la colonne correspondante; ainsi les cosinus de O^, sont : a, 6, c; ceux de Oy^ : a', b\ c', etc.
Cela posé, M étant un point quelconque, soient OPQM et O P, Q, M {^fig. i5) les contours des anciennes et des nouvelles coordonnées de ce point.
Si l'on projette ces deux contours successivement sur Ox^ OjK, O-::, on obtient, en appelant, comme nous l'avons déjà fait, )., [Ji, v les angles des anciens axes
cosv
a:cosv
a:cos;jL
cosX
cos \x = ax -\- a y -\- a z , cosX — br'-^ b'y'-h- b" z' ,
= ex' -h c'y' -\- c" z' .
Le déterminant de ces équations étant égal à lo-, les anciennes coordonnées X, j', z sont des fonctions linéaires et homogènes de
Il est évident que, réciproquement, on pourrait de la même façon exprimer jr', y\ z' en fonctions linéaires et homogènes Ae a , y^ z.
Deuxième méthode. — Pour déterminer les directions des nouveaux axes, on peut faire usage de points directeurs. Marquons sui-
3o CHAPITRE II.
O^, un point A, sur OjKi wn point B, sur O^, un point C, et soient
ÔÂ = /, ÔB = m, OG = n;
enfin, désignons par /?, ^, /•, //, ^', /'; p\ q\ r" les coordonnées anciennes des points A, B, C. Les équations (i) résolues par rapport à X, jK, ^ donnent
X =^ ux' -\- u'y'-\- u"z',
y= çx' -+- v'y' -^ v" z' .
z = wx' -h iv'y' -^ w" z' .
Appliquons ces formules au point A en remarquant que ses coordonnées nouvelles sont x' := l, y' =^ o ^ z' = o ] on obtient
p = ul, q = <^/, /• == wl. On aura de même
p' ^^ U' V . ^'=:p'/', f' z= iv' l\
p" = u" r, q" = «'" /", /•" = iv" I" ;
donc
(2) {7= l^'-t--^- jK'+|r^',
^z^jx^jy-^jz,
et, si l'on suppose que OA = i , OB = i , OC = i ,
IX = px' -A- p' y -^- p" Z\ y = qx'-\-qy'-i-q"z', Z = rx' -\- r'y' -h r"z'.
On peut d'ailleurs obtenir ces formules en projetant le contour des coordonnées anciennes sur Ox parallèlement au TplanyOz, sur Oy parallèlement au plan zOx, et enfin sur O^ parallèlement au plan xOy.
Troisième cas : Transformation générale, — On change à la fois l'origine et les directions des axes. Faisons d'abord subir aux axes primitifs une translation qui amène l'origine au point
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTILIGNES. 3l
0,{a:t, fi, Zf), qui est l'origine des nouveaux axes (^g. 16). Si l'on nomme x" , y'\ z" les coordonnées d'un point M par rapport au système O, j^oj'a^o parallèle au premier, on a
Y -yv-^y
l'iK.
En second lieu, si l'on nomme p, q, /•; />', q'^ /'; />", 7", /" les coordonnées des points directeurs A, B, C, par rapport au système auxiliaire, ou, ce qui revient au même, les coordonnées anciennes des points directeurs A', B', C pris sur des demidroites parallèles à 0(A, OjB, 0,C de même sens respectivement, et menées parl'ancienne origine ; nous pourrons exprimer, à l'aide des formules {:>) ou (3), x" , y, z" en fonction de x\ y\ z'. Donc, en supposant OA'=i, 0B'= I, 0C'= 1 , on obtient, en combinant les formules (3) et (4),
/ .r = px' -h p'y -i- p" ^'-\~ Ti.
f z == rx -\- r'y' -\- r" z' -h -i.
On pourrait également se servir des équations (i) dans lesquelles x^y^ z seraient remplacés par x", y", ^".
36. Cas particulier : axes rectangulaires. Relations entre les cosinus directeurs d'un trièdre trirectangle. — Quand les axes primitifs sont rectangulaires, les formules (i) se simplifient puisque, dans ce cas, cos)v = cos \k = cosv =• o, et l'on a
X = ax' -^ a' y' -h a"z', y = bx' -h b' y ->i- b" z^ z — ex' -+■ c'y'-\- c" z.
D'ailleurs, dans ce cas, il est évident que, si OA = i, OB = i,
OC = I, on a
Si les nouveaux axes sont également rectangulaires, les formules (6) conservent la même forme, mais il y a alors, entre les neuf cosinus
qui figurent dans les seconds membres, six relations
l a^ -+- b^ -h c- =^ i, l aa' -+- bb' -\- ce' = o,
\ a"2-t- b"--r- c"-= 1; ' a" a -\- b" b + cf c = o.
Les équations (7) expriment que les nombres donnés sont les cosinus directeurs des arêtes du second trièdre relatifs à un trièdre trirectangle Oxyz^ et les équations (8) expriment que le trièdre Ox^y^ Z\ est trirectangle. Il est évident qu'en renversant les rôles des deux trièdres on a aussi
ia- -t- a'- + a"2 = 1 , 1 ab -h a' b' -h a" b" — o,
62 + 6'2 -+- 6"2 = I , (ro) 1 6c -+- 6'c' -t- 6"c" = o,
c^ -f- c'2 -f- c"- = 1 ; \ ca -\- d a! -\~ c" a!' — o.
Il était d'ailleurs certain «/)r/o/f que ces neuf cosinus devaient être liés par six équations; car, si l'on se donne les angles que Oxy fait avec O^ et avec Oy, Ox^ est déterminé. En second lieu Oy^ , étant perpendiculaire à Ox,, est déterminé si l'on connaît l'angle que Oyx fait avec Ox^ et alors le second trièdre est déterminé. Les cosinus étant connus dès que trois d'entre eux, convenablement choisis, le sont, il faut qu'il existe six relations distinctes entre ces neuf quantités. D'où il résulte que les relations (9) et (10) sont nécessairement des conséquences des équations distinctes (7) et (8).
Il est facile de vérifier l'équivalence de ces deux systèmes. Effectivement, supposons vérifiées les équations (7) et (8) et considérons le déterminant
En tenant compte des relations (7) et (8), on a immédiatement D^ = 1 , et, par suite, D = s.
Les équations
aa' -+- bb' -+■ ce' = o,
aa" -\- bb" -^ ce" = o
déterminent les rapports mutuels de a. b, c. En nommant A, B, G les coefficients de «, b, c dans le développement de D, suivant les éléments de sa
