ABC

A' B' C . A" li" G"

on sait qu'il est égal à D^, donc A = i.

Des équations

AA'-hBB'-4-CC'=o,

AA"+BB"-hCG"=o.

on tire

donc

Les mineurs de ce déterminant sont donc égaux à ses éléments.

Les relations que nous venons de démontrer s'étendent à un déterminant de degré quelconque.

Il est facile de décider si D = -f- 1 ou D — i . En effet, déplaçons le trièdre Oxyz d'une manière continue en laissant son sommet fixe. Il est évident que les neuf cosinus varieront d'une manière continue; donc D variera aussi d'une manière continue, puisque c'est une fonction entière de ces cosinus; par conséquent, D ne pouvant prendre que l'une des deux valeurs -)- i ou — i , dont la différence est finie, conservera une valeur constante. Or, on peut amener Oa^j à coïncider avec Oa? et 0/t avec Oy\ alors Ozi coïncidera avec Oz ou avec la demi-droite opposée. On aura, pour cette nouvelle position,

a = 6'=i, a' = a" = b =^ b" = c = c' = o et c" = i ou — i. NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. 3

CHAl'ITIlE II.

Mais D se réduit à c" ; donc enfin, dans le premier cas, D = -i-i, et, dans le second cas, D = — i. D'après cela, imaginons un observateur placé les pieds en O et la tête en un point de la demi-droite Oz. Si cet observateur voit Oa; à sa gauche et Oy à sa droite, on aura D = -+- i, si cet observateur se déplaçant de façon que ses pieds restant au point 0 et sa tête venant en un point de O^i, il voit Oa^i à sa gauche et Oj^j à sa droite, et D = — i dans le cas contraire. En d'autres termes, D = -i- i si l'on peut amener les deux trièdres à coïncider en faisant tourner l'un d'eux autour de leur sommet commun; D = — i dans le cas contraire.

37. Conditions nécessaires et suffisantes pour que deux trièdres soient trirectangles. — Revenons au cas de deux trièdres quelconques et considérons un trièdre auxiliaire trirectangle OXYZ. Soient a, p, w; u', v', tv'; u", v", w" les cosinus directeurs des arêtes du trièdre Oxyz, et soient «i, V\, . . ., w'[ ceux des arêtes du trièdre OyXiy\Zi, tous ces cosinus étant relatifs au trièdre auxiliaire. On a

Pareillement,

cosv