PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS
des axes Ox, Oy, Oz avec OA, OB, OC, si a', b', c' sont les longueurs de ces trois demi-diamètres, l'équation de l'ellipsoïde sera
On voit ainsi que, réciproquement, si OA, OB, OC sont trois demi-diamètres conjugués, OA et OB sont deux demi-diamètres conjugués de la section faite par le plan diamétral conjugué à OC.
311. La même surface, rapportée à ses axes de symétrie, a pour équation
J.2 yi 32
Je dis que pour tout point de l'espace on a identiquement
TÎ
yi
En effet, l'ellipsoïde étant supposé rapporté à ses axes de symétrie, faisons une transformation de coordonnées et prenons pour nouveaux axes trois diamètres conjugués Ox\, OB, OC; les formules de transformation fournissent une identité de la forme
^ + ii + ^-?(^'^-^
la nouvelle équation est donc
mais elle est aussi
312. Théorèmes (dits d' Apollonius). — i'' La somme des carrés de trois diamètres conjugués d\in ellipsoïde est constante.
2" La somme des carrés des faces du parallélépipède construit sur trois diamètres conj ugués est constante.
3" Le volume du parallélépipède construit sur t/ois diamètres conjugués est constant.
On a, en ellet, en conservant les notations précédentes,
il A 2 fi
'•2 5- x"^ jk'^ z"^
ar2 -j- J)^2 + ^2 == x"'- -^ y- -\- z''^ -+■ -ly' Z' COsX -r- iz' x' COS [JL + 2 37'^'' COSV,
À, [JL, V désignant les angles des axes de coordonnées dirigés suivant les diamètres conjugués considérés.
On tire des identités précédentes
Le discriminant, de la seconde forme est égal an discriminant de la première multiplié par w*. En égalant ces discriminants à zéro on a donc des équations identiques, savoir
S3-f-S2(a2+ 62+ c2)4-S(62cM-c2a2-(-a2i2)^rt2^,2c2 = 0.
Par suite
6'2c'2sin2X -i-c'2«'2sin2[i-i- a'2 6'2sin2v = 62 ^2 f ^2 ^2 i ^^2^2^ a' b' c' lu = aèc.
Ces équations sont la traduction analytique des théorèmes analogues à ceux qu'Apollonius a trouvés pour Fellipse, et qui ont été démonlrés pour la première fois par Livet et Binet.
313. Démonstration géométrique. — On s'appuie sur la remarque suivante : Étant donnés deux systèmes de diamètres conjugués O.AiB,Gi et
O.A2B2G1 ayant un diamètre commun OGi les diamètres OAi, OBi et OA2, OB2 sont dans un même plan qui est le plan diamétral conjugué à OCi. Gela étant, soient O.ABG et O.A'B'G' ijig. 3i) deux systèmes de diamètres conjugués, le premier étant, par exemple si l'on veut, formé par les axes de symétrie de l'ellipsoïde. Le plan AOB et le plan A' OB' se coupent suivant un diamètre OD; soient OE le diamètre conjugué à OD dans le plan AOB et OE' le diamètre conjugué à OD dans le plan A'OB'; O.DEG et O.DE'C' sont deux systèmes de diamètres conjugués ayant un diamètre commun OD, donc les diamètres OE,
PKOI'HIÊTÉS DKS DIAMÈTRES CONJUGUÉS.
OC, OE', OC sont dans un même plan. On peut ainsi passer successivement par les systèmes O.ABC, O.GDE, O.DE'C, O.A'B'C; deux systèmes consécutifs ont un diamètre commun, les autres forment deux couples de diamètres appartenant à une même conique. Il en résulte que dans chacun de ces systèmes la somme des carrés des diamètres est la même : le premier théorème est donc démontré. Le troisième se démontre aussi facilement, car si l'on considère les parallélépipèdes correspondant à deux systèmes consécutifs, par exemple O.C'DE' et O.G'A'B', ces parallélépipèdes ayant un sommet commun et des bases équivalentes, situées dans un même plan, sont équivalents.
Reste à établir le second théorème. Pour cela, considérons deux systèmes de diamètres conju- «ïués ayant un diamètre commun, O.IIKL et O.HK'L'. Les faces construites sur OK et OL d'une part, sur OK' et OL' {fig. 82) d'autre part, sont équivalentes; reste donc à considérer les faces (OH.OK), (^OH.OL) et (OH.OK'), (OH,OL'). Soient OM et ON les projections de OK et de OL sur 01! ; non* avons à calculer la somme
et la somme
Oli'x iVlK -f OH'x NL
