OK +0L = OK' ^-OL

et, d'autre part, on a aussi

ÔM^ + Ôn' ^ÔM'^-i-ÔN'',

car la somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués d'une ellipse sur un axe est constante. On voit ainsi qu'en passant d'un système de diamètres au suivant, la somme des carrés des faces des parallélépipèdes construits sur ces diamètres reste la même : le second théorème est donc établi.

SU. Lieu des sommets des parallélépipèdes construits sur trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde. — Soit M le sommet opposé au centre dans le parallélépipède construit sur les trois demi-diamètres conjugués OA',

3oo

OB', OC {fig. 33). Si l'on prend pour axes de coordonnées les axes de symétrie, puis les diamètres considérés, en appelant x^ y, z et x' , y' , z'ies anciennes et les nouvelles coordonnées de M, on Fig. 33. a vu que

xi. 1/2 5:2 -r'2

Mais x' = a', y' = b', z' =: c', donc le point M est sur l'ellipsoïde homothétique et concentrique au proposé, et ayant pour équation

Pour chacun des autres sommets P, Q, R, on a

car pour P, par exemple, x' = o, jk' = b', z' = c' et de même pour les deux autres; ces trois sommets sont donc sur un nouvel ellipsoïde homothétique et concentrique au premier.

315. Variations de la longueur d'un diamètre de l'ellipsoïde. — Soient a, ^, y l^s cosinus des angles qu'un diamètre OM fait avec les axes de sjmétrie de l'ellipsoïde donné; en appelant p la longueur de ce diamètre et .r, y, z les coordonnées de son extrémité, on a

et, par suite,

pa.

j = pP, z = py,

Supposons a^ b ^ c. On peut écrire ainsi la formule précédente

p2 a^^^ \b-^ ay ' \c2 a^ )

On a donc

L JL 32

Sur tout ellipsoïde d'axes aa, 2 6, 2c (a > 6>> c), il y a une infinité de points situés à une dislance du centre égale à p, si l'on suppose c <C Q <^a.

Les points satisfaisant aux conditions données sont, en effet, dé-