PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS

terminés par les équations

3oi

On peut remplacer l'une de ces équations par celle-ci

qui représente un cône qui n'est réel que si l'on suppose c <.^ <i a. Les points cherchés sont à l'intersection de ce cône et de la sphère concentrique à l'ellipsoïde et de rayon p.

Il est d'ailleurs facile de se rendre compte de la nécessité des conditions précédentes. Soit en effet M un point de l'ellipsoïde ayant pour demi-axes OA., OB, OC {Jig- 34)- La section faite par le plan OAM est une ellipse ayant pour demi-axes OA et OD ; OD est compris entre OB et OC et, par suite, plus petit que OA : donc OM -< OA. La section parle plan MOG est une ellipse ayant pour demi-axes OC et OE; mais OE>OB>OC, donc OM>OC. On a supposé OM à l'intérieur du trièdre OABC, ce qui était évidemment permis.

316. PnoBLÈME. — Construire un système de trois diamètres conjugués égaux d'un ellipsoïde.

Supposons le problème résolu et soit x la longueur commune de trois demi-diamètres conjugués égaux; on aura, en vertu du premier théorème d'Apollonius,

Or, on voit immédiatement que cette expression est comprise entre a^ et c* (a > 6 > c); donc il y a sur la sphère une infinité de points situés à une distance du centre égale à la valeur absolue de x définie par l'équation précédente; ces points étant à l'intersection de l'ellipsoïde donné et du cône avant pour équation

hi — ^c-t

Soit M un point pris sur la courbe d'intersection de l'ellipsoïde et de ce cône; il y a dans l'ellipse intersection de rellipsoïde par le plan diamétral con-

3o2 CHAPITRE XX.

jugué à OM, deux diamètres conjugués égaux; si l'on appelle iy leur longueurcommune, on aura

donc y = x\ il y a donc une infinité de systèmes de trois diamètres conjugues égaux, dont les extrémités sont sur la courbe d'intersection de l'ellipsoïde et du cône obtenu.

317. Relations entre les longueurs et les directions de trois diamètres

conjugués d'un ellipsoïde. — Soient OA', OB', OC trois demi-diamètres

conjugués d'un ellipsoïde. Soient ai, ^i, yi ; «21 Pa» "{l'i ^3, ^3, Ys les cosinus

directeurs de ces demi-diamètres, l'ellipsoïde étant rapporté à ses axes de

symétrie, Soient a^i, jki, ^i; oc^, y^-, Zi', x^, y^, z^ les coordonnées des points

A', B', G' respectivement, et enfin a', b' , c' les longueurs des demi-diamètres

considérés. On a

ar, = a'ai, 7i = rt'Pi, ^, =:a'Yi,

x^=^b'a^, jK2 = 6'p2, Zi = b''(i,

^3 = c' as . j3 = c' ^3 , -33 = c'ys •

En écrivant que les extrémités de chacun de ces diamètres sont sur l'ellipsoïde, puis dans le plan diamétral conjugué à chacun des deux autres, on obtient les équations suivantes :

/ a'2a? , a'^pf «'^v^ / ^^'^^ ^ '^^h ^ ï.ï-2 ,

\ b'^-^l , è'^PI 6'2Yi «2^3 , ?2?3 , Ï2Y3^

C '■ai

£!ill == I . I ïi^ + Ml H liii

mais si l'on fait la ti'ansjormation homo graphique définie par les formules

d'où l'on déduit

les équations (i) et (2) deviennent

( Xf+Yf-^Zf = 1, ( X,X2 + Y,Y2 + Z,Z2-o,

(1/ Xl-+-Y|-l-Z| = I, (2)' X^Xj + Y^Ys + Z^Za^o,

f X|-i-Y|-+-Z| = i; ( XjX.+YsYi-hZjZ, =0.

On aurait pu écrire immédiatement ces équations en remarquant que, si l'on pose

37'= aX', jK' = èY', z'=cZ'; x" = a\" , f=^b\\ z' = cZ\