PROPRIÉTÉS DES UIAMÉTRES CONJUGUÉS

on on déduit

cl, par suite, au milieu d'un segment correspond le milieu du segment transformé. A un plan correspond un plan; à deux droites parallèles correspondent deux droites parallèles. Au plan diamétral conjugué à une direction 8 correspond donc le plan diamétral conjugué à la direction transformée A. Or, à l'ellipsoïde correspond une sphère concentrique et de rayon i, et aux trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde correspondent trois diamètres conjugués de la sphère, c'est-à-dire trois diamètres rectangulaires deux à deux.

Cela posé, les équations (i)' et (2)' forment, comme on sait, un sy'^tème équivalent au suivant :

CîV

X2 + Xi + X| = i, YÎ+Y|-fY1 = i,

1 X.Y.-t-X,Y,-.-X3Y3 = o, (4)' Y,Z, -i-Y^Zî-t- Y3Z, = o,

( ZjXj -f- Z2X2 -+- Z3X3 = o ;

c'est-à-dire, en revenant aux notations primitives

ou (3)" \ y\+y\^yl=b'^,

\ z\-^ zl-^ zl = c-2;

( rt'-aj -f- b"^a.\ -r- c'2a| = «-,

j a'2ai3i-+-6'2a2^2-+-c'2a3P3= o, I a;,^! -f- a?,7î -h j^-jJ, = o,

M) < «'-?rri+^'"^P2Y2-^c'^?3T3= O. ou (4)" j 71^1-^72-2 -t-^a -3 = 0,

( a'^Yiai -f- 6'2Y-2a2H- ^'273^3= o; ' z^Xi-i- z^^x^ -^ z^x^ — o.

318. Exercice. — Application des formules précédentes à la démonstration des théorèmes d'Apollonius. — 1° Si l'on ajoute, membre à membre, les équations (3), on obtient immédiatement

rt'î ) 1,'i | c'2 = a^ H- 62 -t- f 2,

>.° Calculons la somme des carrés des faces du parallélépipède construit sur les diamètres considérés; il suffit pour cela de calculer la somme des carrés des projections de ces faces sur les trois plans de coordonnées. Relativement au plan xOy, on trouve pour somme

^1 yi

^ï 72 Xi 73

la:, 7, I

Or, cette somme est le carré du Tableau rectangulaire

a-i Xi x^ M 7i 72 73 II

3o4 CEIAPITRE XX.

et, en vertu des formules (3)" et (4)", ce carré est égal au déterminant

OU a^b^. En calculant de même la somme des carrés des projections des faces sur les deux autres plans de coordonnées, on obtient ô^c' et c^a^\ la somme des carrés des faces considérées est donc

3° Le volume du parallélépipède est égal, au signe près, à