C- Wi

en écrivant que ce diamètre est dans chacun des deux autres plans et procédant de la même façon à l'égard de chacun des trois plans don-

PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUl'S. 3o5

nés, on obtient les conditions

a^ «2 "3 H- b- i'i V3 h c^ iVi (f 3 — 0,

«2 «3 Ui~ b^V^Vi -r- C- H^3 Wi — O.

Hyperboloïdes .

320. En raisonnant comme pour l'ellipsoïde, on voit qu'un hyperboloïde admet une infinité de systèmes de trois diamètres conjugués, mais les longueurs de ces diamètres ne sont pas toutes réelles.

L'équation d'un hyperboloïde rapporté à trois diamètres conjugués est de la forme

Si deux diamètres sont réels et le troisième imaginaire, l'hyperboloïde est à une nappe; si deux diamètres sont imaginaires et le troisième réel, l'hyperboloïde est à deux nappes; ce sont les seules hypothèses possibles. L'équation d'un hyperboloïde à une nappe rapporté à trois diamètres conjugués peut se mettre sous la forme

et celle d'un hyperboloïde à deux nappes sera de la forme

xi v2 ^2 ^

rt'2 6'2 c'2

32L Théorèmes d'Apollonius. — Dans un hyperboloïde :

i" La somme algébrique des carrés de trois diamètres conjugués est constante;

•1° La somme algébrique des carrés des faces du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués est constante;

3° Le volume du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués est constant ;

c'est-à-dire :

a'2-T- 6'2— c'2= a2 i ii c2,

a'^b'^ sin2v — b'-c'- sin2X — c"^a'^ s'\n- ;jl n= «2^2 — b-c'^ — c'^a-, a' b' c' (M = abc.

La démonstration est la même que pour l'ellipsoïde.

NiEWENGLOWSKI. — G. an., III. 30

Fie;. 35.

322. Lieu des sommets des parallélépipèdes construits sur trois diamètres conjugués d'un hyperboloïde. — Soient Oa^j, Oji, Osi {Jig. 35) les

directions de trois diamètres conjugués d'un hyperboloïde à une nappe , et supposons OA = a' , OB = b\ OC = c'. En appelant x, y, z les coordonnées d'un point par rapport aux. axes de symétrie et x' , y' , z' ses coordonnées par rapport aux nouveaux axes, on a

A îc,

■Ll

Les coordonnées de M sont x' = a\ y' = h', z' — c'; donc le point M est sur l'hyperboloïdc à une nappe donné, car

Le point R, situé dans le plan des deux diamètres réels, a pour coordonnées

x' = a', y' = b' , ^' = o ; donc

le point R est donc sur un hyperboloïde homothétique et concentrique au premier.

Enfin, pour Q,

et, pour P,

donc chacun de ces points est sur le cône asymptote, car

On voit d'ailleurs que AM et MB sont des droites situées tout entières sur l'hyperboloïdc et que OP et OQ sont des génératrices du cône asymptote.

323. Variations de la longueur d'un diamètre dhin hyperboloïde. — Soient .r, y^ z les eoordonnées d'un point M appartenant à un hyperboloïde à une ou à deux nappes et a, ^, y les cosinus directeurs de OM, la surface étant rapportée à ses axes de symétrie; en désignant par p la longueur de OM, on a

£ étant égal à -+- i dans le cas de l'hyperboloïde à une nappe, à — i

PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS. Soj

dans le cas de riijperboloïde à deux nappes. On voit ainsi que pour deux hypcrboloïdes conjugués, à tout diamètre réel de l'un correspond un diamètre imaginaire de l'autre. Le rapport d'homothétie des deux hypcrboloïdes est égal à doi, comme nous l'avons déjà fait remarquer. Si e =+ i, pour que p soit réel, il faut que l'on ait

ce qui exprime que le diamètre doit être extérieur au cône asymptote. En supposant a <ch^ on voit que p > a.

Il y a sur l'hyperboloïde à une nappe une infinité de points situés à une distance du centre plus grande que a: ces points sont sur la sphère ayant pour équation

et par suite, à l'intersection de celte sphère et du cône ayant pour équation

"' (i - ^) --^^ (/7i - ^) -^Ki ^ pO "^ "•

Ce cône est réel si l'on suppose p > a.

Dans le cas de l'hyperboloïde à deux nappes, les diamètres réels sont intérieurs ^yi cône asymptote; leur longueur est plus grande que ic. Les points à distance du centre égale à p sont sur le cône ayant pour équation

Ce cône est réel si l'on suppose ^~;;> c\ il y a donc une infinité de points situés à une distance du centre supérieure à c.

324. Trouver trois diamètres conjugués égaux d'un hyperboloïde. — Supposons a'= b'^= c'; on doit avoir, dans ce cas,

s'il s'agit d'un hyperboloïde à une nappe, on doit avoir, en supposant a <C b,

a^-^ b^— c^-l a'^ ou ^>c;

dans ce cas, le problème est possible; sur la ligne d'intersection de l'hyperboloïde et de la sphère de rayon a', donné par l'équation précédente, pre-

3o8 CHAPITRE XX.

nons un point M; le plan diamétral conjugué à OM coupe l'hyperboloïde suivant une hyperbole sur laquelle nous pourrons trouver au moins un point N, situé à une distance du centre égale à a' \ soit c' le demi-diamètre imaginaire conjugué; nous aurons

donc

ce qui montre que l'hyperbole obtenue est équilatère. On voit ainsi que les extrémités réelles des diamètres répondant à la question sont sur une même courbe, intersection de l'hyperboloïde et du cône ayant pour équation

Dans le cas de l'hyperboloïde à deux nappes, il faut supposer

c'est-à-dire

Si cette condition est remplie, on prendra un point M sur la courbe d'intersection de l'hyperboloïde et du cône ayant même équation que plus haut; le plan diamétral conjugué à OM coupe la surface suivant une ellipse imaginaire et l'hyperboloïde conjugué suivant une ellipse réelle; sur cette ellipse réelle, prenons les deux demi-diamètres égaux, et soit b' leur longueur; on

aura

d'où

On doit remarquer que, si l'on suppose <z < 6 et ct2| 52^ 202, on aura

aussi

325. Relations entre les longueurs et les cosinus directeurs de trois diamètres conjugués dhin hyperboloïde. — On obtient des formules analogues à celles qui sont relatives à l'ellipsoïde, en changeant, pour l'hyperboloïde à une nappe, c en ci, et, pour l'hyperboloïde à deux nappes, a et 6 en ai et bi.

En posant - = X, ^ ^ Y, - ^=^iTj, l'hyperboloïde à une nappe

se transforme en une sphère; il en est de même pour l'hyperboloïde

à deux nappes, en posant — = f X, j- = «Y, - = Z.

Considérons, par exemple, l'hyperboloïde à une nappe, et soient OAl'= a', 0B'= h' deux demi-diamètres conjugués réels et sur le

PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS. SoQ

diamètre conjugué à leur plan, nous portons une longueur OC égale à c'; si l'on appelle a;,,^(, 5,, X2, y2} -Sa, ^35^3) 23 les coordonnées des points A', B', C et a,, ^1, Yo «2, ^o, Y2, ^3, ^3, Ys les cosinus directeurs de OA', OB', OC, on a

'^Yi

d'où l'on lire

«3*1 ^ P3 Pl

3) a'2p2^6'2p|c'2p2^ £62, OU (3') !r?-i-JKi-ri- £62,

l a'2aipi--6'2a2 32— c'2a3p3 = o, / ari^j-h a^a^j — a?3jK3= o,

U; ; «'^PlTl--^'^P2T2— C'2P3Y3=0, OU (4') J JKlSl-f-r2'32 — rS-Ss^ O,

( a'î^ia, -H 6'2Y2a2 — c'2Y3a3 = o, ' ^i Xi-{- z^Xî — Z3X3 — o.

Dans ces formules, il faut faire e := h- i ; en prenant s = — i , on a les formules relatives à l'hjperboloïde à deux nappes.

326. Relations entre trois plans diamétraux conjugués. — En raisonnant comme pour l'ellipsoïde, on trouve

a^UiU-i-r- b^VyV^ — 02^11^2=0, «2 «2 «3 !- 62 V^ V3 — C2 tV2 «^3 = O, «2^3 M, -H b'^VzVx — C^W3Wi= O.

EXERCICKS.

1. On coupe un ellipsoïde et son cône asymptote par un plan passant par les extrémités de trois demi-diamètres conjugués de l'ellipsoïde; prouver que le rapport d'homothétie des deux sections obtenues est égal à i^i.

2. Lieu des diamètres d'un ellipsoïde qui sont conjugués aux plans tangents au cône ayant pour équation

l'ellipsoïde ayant pour équation

3lO CHAPITRE XX.— PROPKIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS.

3. Si l'on détermine des tétraèdres ayant pour faces trois plans diamétraux, conjugués d'un ellipsoïde et un plan tangent à cet ellipsoïde, de façon que le produit des trois segments déterminés sur les diamètres conjugués correspondants soit minimum, les volumes de tous ces tétraèdres sont équivalents. (T.)

4. Dans un ellipsoïde, la somme des longueurs de trois diamètres conjugués est la plus grande possible quand ces diamètres sont égaux.

5. Si Pj, P2, P3 sont les pieds des perpendiculaires abaissées du centre 0 d'un ellipsoïde sur trois plans tangents parallèles à trois plans diamétraux conjugués, on a

ÔPf ^ 0P| "*" ÔF| ~ ^ "^ P "^ ^ '

et, si Qi, Q2, Q3 sont les points où ces perpendiculaires rencontrent l'ellipsoïde,

OPjOQ, OP2OQ2 OP3OQ3 ""

6. Par chaque point P d'un ellipsoïde dont on donne trois diamètres conjugués, on mène trois droites qui rencontrent chacune l'un de ces diamètres et est parallèle au plan des deux autres. Ces droites rencontrent la surface de l'ellipsoïde en Pi, Pg, P3 ; trouver l'équation du plan passant par ces trois points et l'enveloppe de ces plans quand le point P se meut sur l'ellipsoïde. (T.)

7. OA, OB, OG sont trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde. Trouver le volume du cône qui a pour base la section diamétrale parallèle au plan ABC et pour sommet le pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan ABC.

8. Étant donnés trois diamètres conjugués d'une quadrique, si l'on projette chacun d'eux sur une droite perpendiculaire au plan des deux autres, la somme des inverses des carrés de ces projections est constante. (Faure.)

9. Lieu des milieux des cordes d'un ellipsoïde, chaque corde étant proportionnelle au diamètre qui lui est parallèle.

Plus généralement, lieu du point qui partage chacune de ces cordes dans un rapport donné.

10. Soient OA, OB, OC trois demi-diamètres conjugués quelconques d'un ellipsoïde et soient OA', OB', OC les demi-diamètres perpendiculaires aux plans BOC, COA, AOB. Trouver entre OA', OB', OC des relations analogues aux théorèmes d'Apollonius. (Neuberg.)

11. La somme des carrés des inverses de trois diamètres rectangulaires d'un ellipsoïde est constante et le plan qui passe par les extrémités de ces diamètres enveloppe une sphère concentrique à l'ellipsoïde.

12. Chercher si deux quadriques concentriques peuvent avoir un système commun de diamètres conjugués. Discussion.

CÔNES DU SECOND DEGRÉ. 3ll

13. Lieu des diamètres conjugues aux plans diamétraux qui coupent un ellipsoïde suivant des ellipses d'aire constante. Lieu des perpendiculaires à ces plans menées par le centre de l'ellipsoïde.

1-4. L'œil étant en un point de la surface d'un ellipsoïde, les perspectives des sections planes de cet ellipsoïde sur le plan diamétral conjugué du rayon qui aboutit à l'œil sont des courbes bomolliétiques. Le centre de chacune est la perspective du sommet du cône circonscrit à la surface suivant la section plane considérée.

1d. Etant donnée une quadrique de centre 0 et un point M : i" si M est extérieur à la quadrique, on mène une tangente MT, le demi-diamètre conjugué OT de cette tangente et le demi-diamètre OA du plan de ces deux droites; soit Vie volume du tétraèdre AMOT; i" si M est intérieur, on mène une demi-corde MT, le demi-diamètre OB conjugué de cette corde et le demi-diamètre OA conjugué du plan de ces deux droites; soit V le volume du tétraèdre ABOT, Prouver que si x, jk, -s sont les coordonnées de M et f{x^y, z) '— o l'équation de la quadrique, on a

E = -f- 1 si M est extérieur, e = — i si M est intérieur.

327. Relations entre la théorie des cônes et celle des coniques. — A toute propriété d'un cône du second degré correspond une propriété des coniques et réciproquement. On peut le voir aisément de la manière suivante. Rapportons un cône du second degré C à trois axes de coordonnées quelconques passant par son sommet, et soit

o{x,y,z) = kx--\- k.'y--^ \" z^ ■+- iByz -+- 2.B'zx 4- iB'xy = o

l'équation de ce cône. La section S faite dans ce cône par le plan z = i se projette, parallèlement à l'axe des z, sur le plan xOj', en

vraie grandeur, suivant laconique ajant pour équation, dans ce plan,

i){x,y, z) ^^ kx^-\- A'jK^ -f- A"-i- nBy -+- iB' z -+- ■iB"xy = o.

On voit qu'en coordonnées homogènes l'équation de cette conique, dans son plan, est la même que celle du cône; ainsi, la même équation, interprétée de deux manières différentes , peut représenter une conique ou un cône.

A tout point M pris dans le plan de la conique S correspond une droite OM passant par le sommet du cône; si M est sur la conique, OM est une génératrice du cône, et réciproquement. A toute droite située dans le plan de la conique S correspond un plan mené par l'origine des coordonnées. Exprimer que le plan ayant pour équation

ux -^ vy -+- wz -= o

est tangent au cône G revient à exprimer que la droite représentée par cette même équation en coordonnées homogènes est tangente à laconique ayant pour équation o(x, y, z) = o. La condition est donc

F(j<, V, w) '^ au^-h a' v^ -4- a"v--^ ibvw -+- 'ib' wu -f- ih" uv = o,

a, «', ..., ^" étant les mineurs du discriminant de la forme cp(.r, y, ^). Le système des équations tangentielles du cône C est donc

r = o, F(a,p, iv) — o.

On établit d'ailleurs directement ces conditions en identifiant

l'équation

ux -~-vy-^wz-\-r^rio

avec celle d'un plan tangent au cône donné.

On peut déduire de là les équations tangentielles d'un cône du second degré dont le sommet a pour cordonnées a^ojJKo) ^o- Oii peut mettre l'équation de ce cône sous la forme

Le plan (f^, v, w^ ;•) sera tangent à ce cône s'il passe par son sommet et si le plan parallèle au premier, mené par l'origine des coordonnées, est tangent au cône transporté à l'origine, c'est-à-dire au cône ayant pour équation cp(^, je, ^) = o. Les conditions sont donc

uXii-\- vy(^-\- wzç^-\- r — o, F(m, p, «')=: o.

CÔNES DU SECOND DEGRÉ. 3l3

Les plans polaires de tous les points d'une droite OA par rapport au cône C sont confondus en un seul plan, et si a, b sont les coordonnées du point A de celle droite, qui se trouve dans le plan de la conique S, ce plan polaire de OA a pour équation

sa trace sur le plan z ^= i est la polaire de A par rapport à la conique S.

Un cône du second degré peut toujours être regardé comme étant le cône asymptote d'une infinité de quadriques liomolhéliques et concentriques, car, si l'équation de ce cône, rapporté à des axes passant par son centre, est

il est le cône asymptote de l'une quelconque des quadriques définies par l'équation

D étant une constante arbitraire.

Un système de trois diamètres conjugués de l'une quelconque de ces quadriques est aussi un système de diamètres conjugués de leur cône asymptote. De là résulte qu'un cône du second degré a une infinité de systèmes de diamètres conjugués et que, si Ton prend l'un de ces systèmes pour axes de coordonnées, l'équation du cône sera ramenée à la forme

Aa?2 -f- k' y- -f- A'-s^ — o.

C'est, d'ailleurs, ce que l'on peut vérifier directement sans aucune difficulté.

Je dis maintenant qu'un plan quelconque coupera le trièdre des nouveaux axes suivant un triangle abc conjugué à la conique, intersection du cône par le même plan. Il suffit, pour le prouver, de remarquer que le plan polaire de l'axe des x, par exemple, par rapport au cône, est précisément le planj^^Os.

Réciproquement, si abc est un triangle conjugué à une conique, le cône qui a pour sommet un point quelconque O, pris hors du plan de la conique, et pour directrice cette conique, admet pour système de diamètres conjugués les droites Oa, O^, Oc. On voit, en elTel, que chacune de ces droites a pour plan polaire le plan

3l4 CHAPITRE XXI,

formé par les deux autres; en prenant pour axes les droites Oa, Ob, Oc et exprimant ces conditions, on obtient bien l'équation d'un cône rapporté à trois diamètres conjugués.

Ou voit ainsi que trois diamètres conjugués d'un cône forment un trièdre conjugué, c'est-à-dire tel que le plan polaire de chacune de ses arêtes est le plan formé par les deux autres arêtes, et réciproquement. Ce trièdre et le plan de l'infini forment un tétraèdre conjugué au cône.

Cônes supplémentaires.

328. Le lieu des perpendiculaires abaissées d'un même point sur les plans tangents à un cône C est un second cône C. Réciproquement, le cône C est le lieu des perpendiculaires abaissées du sommet de ce cône sur les plans tangents au cône C.

Soient, en effet : SA, SB deux génératrices infiniment voisines du cône C, SM l'intersection des plans tangents à ce cône, menés Je long de ces génératrices. Soient S'A', S'B' les perpendiculaires abaissées de S' sur les plans tangents suivant SA et SB au cône G. La droite SM est perpendiculaire au plan A'S'B'. Si SB vient se con- . fondre avec SA, SM vient aussi se confondre avec SA et le plan A'S'B' a pour limite le plan tangent suivant S'A' au cône C; on voit donc que SA, limite de SM, est perpendiculaire au plan tangent à O le long de S'A', Les cônes C et C sont appelés cônes supplémentaires.

329. Equation du cône supplémentaire d'un cône du second degré. — Soit {coordonnées rectangulaires)

(ù{x,y,z)-= kx'^ + A'jk2^ k"z^-^iByz -+- o.B'zx ~h iB" xy = o

l'équation du cône C; cherchons l'équation du cône supplémentaire ayant même sommet. Soient x,y., z les coordonnées d'un point M de ce cône; le plan perpendiculaire à OM, mené par l'origine, a pour équation

X^ -f- Yy -H Zz — o;

il suffît d'exprimer que ce plan est tangent au premier cône, ce qui donne l'équation

CÔNES DU SECOND DEGRÉ. 3l5

OU

ax^-h a'/'- -4- a"z--\- "y.byz -\- ib' zx -t- ib'xy = o.

On vérifie immédiatement la réciprocité, car, en appliquant la même règle, on obtient pour l'équation du cône supplémentaire du

second cône

Cône équilatère.

330. Cherchons la condition pour qu'on ^^rnsse placer sur un cône du second degré un trièdre trlrectangle.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est, en supposant les coordonnées rectangulaires,

En effet, soit

kx--\- A.'/2-+- h" z"*--}- Q.Byz H- iB'zx + iB"xy = o

l'équation d'un cône rapporté à trois axes rectangulaires passant par son sommet; si l'on peut placer sur ce cône un trièdre trirectangle, en prenant les arêtes de ce trièdre pour axes de coordonnées, son équation deviendra

Al 372 -{- h\y^^ K\z^--^-3.Miyz -^iB\zx -^ o, B'( xy = o,

en désignant les nouvelles coordonnées parles mêmes lettres que les anciennes. Mais le nouvel axe des x étant une génératrice du cône, cette équation doit être vérifiée quand on y fait j^ = o, 5=0, quel que soit x] on en déduit A, =0; en exprimant que les autres axes s ont sur le cône, on trouve les conditions A', =0, A" = o. Or, on

sait que

A -f- A' -+- A' = Al -+- a; -+- A'i ;

donc V invariant A -)- A' + A" doit être nul. La condition est suffisante. En effet, supposons

H faut d'abord démontrer que, si cette condition est remplie, le cône proposé est réel. Or, des trois coefficients A, A', A", dont la somme est nulle, deux au moins ont des signes contraires. Supposons, par exemple, AA'<! o. Dans ce cas, le plan :rO^ coupe le cône

3l6 CHAPITRE XXI.

suivant le système de droites défini par l'équation

Ax^-\- X'y^-{- iB" xy = o,

lesquelles sont réelles, puisque A A' est négatif.

Si A, A', A" étaient nuls, le cône serait évidemment réel^, puisqu'il contiendrait les trois axes de coordonnées.

Le cône considéré renfermant des droites réelles est réel; cela étant, prenons pour axe des z une de ses génératrices, les deux autres axes formant avec le nouvel axe des z un trièdre trirectangle ; l'équation rapportée à ces nouveaux axes sera

Ai.r2-f- \\y^-T- aBi^^ 4- iB^zx +- -i.B\xy = o.

La section par le plan xOy a pour équation

Aix^-h A'ijK^-i- iW[xy = o.

Al -+- A 1 = A -H A' -H A" = o ;

Or,

donc, les deux droites représentées par l'équation précédente sont rectangulaires.

Si la condition (i) est remplie, on peut donc placer sur le cône donné une infinité de trièdres trireclangles, puisque la section par le plan mené par son sommet et perpendiculaire à une quelconque de ses arêtes est composée de deux droites rectangulaires qui forment avec l'arête considérée un trièdre trirectangle placé sur le cône. Tout plan perpendiculaire à une arête et ne passant pas par le sommet coupera donc ce cône suivant une hyperbole équilatère. Un pareil cône a reçu le nom de cône équilatère.

Les conditions pour que les droites définies par les

où a, p, Y, . .. , désignent leurs cosinus directeurs, soient sur le cône donné, sont

(2) cp(a, p,YJ = o, tf (a', P', y') = o» ?(»">?") T".> = «•

Les conditions pour que ces droites soient rectangulaires deux à deux étant supposées remplies, si l'on ajoute membre à membre les équations (2), on obtient la condition (i). Si cette condition est remplie, on n'a plus que huit équations pour déterminer les neuf cosinus; on voit ainsi que si le pro-