Remarque
- Le
équations
blême est possible, il a une infinité de solutions. Cette méthode ne suppose pas les coefficients réels.
332. Condition pour qu'on puisse mener à un cône du second degré trois plans tangents rectangulaires. — Si l'on peut mener trois plans tangents rectangulaires à un cône du second degré, le cône supplémentaire sera équilatère et réciproquement. La condition demandée est donc (axes rectangulaires)
et, si cette condition est remplie, il y aura une infinité de trièdres trirectangles circonscrits au cône proposé.
Traitons la question directement. Soient («i, i',,^ï^,), («21 ^'a^ ''^2)5 (î^3, ('3, w^) les coefficients de trois plans rectangulaires tangents au cône proposé; on a
F(Mi,t',, Hf,) = 0, ¥ {Ui,Vi,Wz) = o, F(m3, t'3, (V3) = o;
en ajoutant ces équations membre à membre et tenant compte des conditions d'orthogonalité, on obtient l'équation (3).
Si cette condition est remplie, le cône est réel. En effet, «, «', a" ayant une somme nulle ne peuvent avoir le même signe; supposons aa''<^o. Les plans tangents menés par l'axe des z sont déterminés
par l'équation
au^-+- a'v^-h "i.b" uv = o
dont le premier membre est le produit de deux facteurs réels. Les plans tangents menés par l'axe des z étant réels, le cône est réel. Si nous prenons pour nouveau plan des x^yyxn plan tangent, l'équation tangentielle sera
en désignant les nouvelles coordonnées par u, v, w. Mais la somme a -+■ a' -+- a", qui est un invariant, étant nulle, on a «i + <?,== o; on en conclut que les plans tangents menés par l'axe des ;; sont rectangulaires.
Il y a donc une infinité de trièdres trirectangles circonscrits à un cône quand la condition (3) est remplie, car les plans tangents menés à ce cône par une droite issue de son sommet et perpendiculaire à un plan tangent quelconque étant rectangulaires, forment avec le premier un trièdre trirectangle circonscrit.
3l8 CHAPITRE XXI.
333. Conditions pour qu'un plan mené par le sommet d'un cône du second degré coupe ce cône suivant deux droites rectangulaires. — Soient
cp (37, jK, s) = o et ux-T-vy+wz = o
les équations du cône et du plan donné, le sommet du cône étant supposé à l'origine. L'équation
^{x., y.,z) ^ {ux -^ vy -\- wz ) ( u'x -h- v'y -^ w' z) = o
est l'équation générale des cônes passant par les droites d'intersection du cône et du plan donné; il suffit, pour le prouver, d'imiter la démonstration relative à l'équation générale des coniques passant par les points d'intersection d'une conique et d'une droite. Cela posé, on peut déterminer les coefficients de l'équation précédente, de façon que le cône qu'elle représente contienne la normale au plan donné, menée par le sommet, ce qui donne la condition
cp (?i, P, W) -!- («2-1- t;2^ (^,.2) (^uu' -+■ Vv' -^ Ww') = O.
Il suffit alors d'écrire que le cône ainsi déterminé est équilatère; on trouve finalement
tp {u, ç, w) — (u'^-i- f2 j- w^) (A -+- A'-f- A") = o.
334. Application. — Trouver les plans qui coupent une quadrique suivant une hyperbole équilatère.
Il suffira d'exprimer qa'un plan mené par le centre de la quadrique coupe son cône asymptote suivant deux droites rectangulaires; tout plan parallèle répondra à la question.
Exemple : la quadrique a pour équation
la
condi
ition
dem
landée
est
33S. Conditions pour que les plans tangents menés à un cône du second degré, par une droite passant par son sommet, soient rectangulaires.
Soit F(u,v, w) = o l'équation définissant le cône donné, ayant son sommet à l'origine; les équations de la droite donnée étant
X y z u V w il suffit d'exprimer que
ux -^ vy -^ wz = o
représente un plan coupant le cône supplémentaire suivant deux droites rec-
CÔNES DU SECOND DEGRÉ, tangulaires, ce qui donne la condition
336. Étant donnés deux cônes du second degré, trouver la condition pour que l'un d'eux contienne trois diamètres conjugués de l'autre.
Si deux cônes remplissent la condition demandée, en les coupant par un plan quelconque on obtiendra comme sections deux coniques dont l'une sera harmoniquement circonscrite à l'autre. Il suffit donc d'appliquer une théorie connue (I, ol8, a").
Soient <o {x, y, z) — o et <fi(x, y, z) -; o les équations des deux cônes et
6, = o exprime que le premier cône contient une infinité de systèmes de trois diamètres conjugués du second; 6 = 0 exprime que le second cône contient une infinité de systèmes de trois diamètres conjugués du premier.
337. Application. — Dire qu'un cône de second degré est capable d'un trièdre trirectangle revient à dire qu'il contient un système de trois diamètres conjugués du cône isotrope de même sommet. L'équation en X est
le coefficient de X^ est A -+- A'-h A"; la condition demandée est donc
A + A'+A^rrrO.
Pour exprimer qu'un cône est capable de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde ayant pour équation
il suffit de considérer le cône asymptote de cet ellipsoïde ; l'équation en X est alors
le coefficient de X^ est
1 — ,- : la condition demandée est donc
\a^-\-Mb^-^ K'c^^o.
On obtient cette condition au moyen de la transformation homographique que nous avons déjà employée (3i7) et définie par les formules
a? = aX, j^ = èY, z = cZ.
La transformée de l'ellipsoïde
x'^ y* z^ a^ b- c^ est la sphère
A trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde correspondent trois diamètres conjugués de la sphère, c'est-à-dire trois diamètres rectangulaires. Il suffira donc d'exprimer que le cône transformé du proposé, c'est-à-dire le cône ayant pour équation
Aa2X2+A'è2Y2-FA"c2Z2-4-... = o,
est capable d'un trièdre trirectangle, ce qui donne la condition
Aa2| A'è2-i- A"c2 = o.
Théorème de Frégier.
338. Si un trièdre trirectangle pivote autour de son sommet situé en un point fixe d^ une quadrique^ le plan passant par les points d'intersection de ses arêtes et de la quadrique coupe la normale à cette quadrique au sommet du trièdre en un point fixe.
Prenons trois axes rectangulaires, l'origine étant le point fixe donné et l'axe des z la normale en ce point à la quadrique, dont l'équalion aura la forme
Soit ux-\-vy-{-wz — I r= G l'équation d'un plan; le cône ayant pour sommet l'origine et pour directrice la conique suivant laquelle ce plan coupe la quadrique, a pour équation
o{x, y, z) -H z{ux -T- vy -i- w z) = o.
La condition pour que ce cône soit équilatère est
Le coefficient w étant constant, tous les plans qui satisfont à la condition donnée coupent l'axe des z en un point fixe, ce qui démontre la proposition.
EXERCICES
1. Si par un point d'une quadrique on mène trois droites parallèles à trois diamètres conjugués d'une seconde quadrique, le plan qui passe par les seconds points d'intersections de ces droites et de la première quadrique passe par un point fixe (théorème de Frégier généralisé). Réciproque.
2. Lieu des points de Frégier et enveloppe des plans polaires de ces points relatifs à tous les points d'une quadrique donnée.
3. L'équation d'un cône du second degré quelconque, peut se mettre sous la forme E -f- Xj = o, E = o représentant uit cône équilatère et (t = o un cône isotrope de môme sommet.
4. Lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du centre d'une quadrique sur le plan passant par les extrémités de trois diamètres conjugués; lieu de cette perpendiculaire.
5. Former les équations tangentielles d'un cône droit du second degré, touchant trois plans donnés (ui, Vi, Wi), {u^, v-i, tvj), (u^, V3, W3).
6. Soient S le sommet d'un cône droit, O le point où l'axe rencontre un plan quelconque P. Démontrer qu'il existe un rapport constant entre les distances des points O et S à une tangente quelconque de la section du cône par le plan P (J. Neuberg).
7. Lieu des sommets des cônes de révolution passant par une conique donnée.
8. Lieu des sommets des cônes équilatères passant par une conique et par au point donné.
9. Lieu des sommets des cônes capables d'un trièdre trirectangle circonscrit, passant par une conique donnée et tangents à un plan donné.
10. Deux systèmes de diamètres conjugués d'une quadrique à centre sont sur un cône du second degré.
11. Lieu des diamètres conjugués aux plans qui coupent un hyperboloïde suivant des hyperboles équilatères.
12. Lieu des foyers des sections d'un cône de révolution par des plans menés par une normale à ce cône.
13. On considère une section plane d'un cône quelconque, et le développement de cette section sur le plan tangent en un de ses points M. Si l'on prend pour axe des x la tangente MT à la section, les équations de la section et de sa transformée, rapportées à cet axe des x et chacune à un axe des y perpendiculaire au premier et mené par M dans son plan respectif, soient y =f{x) et ji = <p(a^) les équations de ces courbes et enfin 6 l'angle que le
NiEWENGLowsKi. — G. an., in. ai
32 2 CUAPlTIiE XXII.
plan sécant fait avec le plan tangent au cône en M, on a
cosO = Il m -- — - = ~„~
f{x) cp {x)
pour a; = 0. En conclure la condition pour que M soit un point d'inflexion du développement.
14. En supposant que le cône soit de révolution, trouver l'équation du développement d'une section plane en coordonnées polaires.
PLANS TANGENTS (FORMES RÉDUITES). — SPHÈRE DE MONGE. — LIEU DES SOMMETS DES CONES DE RÉVOLUTION CIRCONSCRITS A UNE QUADRIQUE.
