ELLIPSOÏDE

339. Plan tangent en un point de la surface d'un ellipsoïde. — Considérons un ellipsoïde E rapporté à ses axes et défini par l'équation

l'équation du plan tangent au point (.Tq, j'o, ^o) est avec la condition

340. Mener à un ellipsoïde un plan tangent par un point donné. — Soient ;r,,y(, Z) les coordonnées du point donné P. Les coordonnées des points de contact d'un plan tangent passant par P

PLANS TANGENTS. SaS

sonl définies par les équations

x^ y 2 z^ XX t YYi zZi

la seconde élant celle du plan polaire du point P. Il y a donc une infinité de plans tangents issus de P, qui sont réels si la courbe d'intersection de l'ellipsoïde et du plan polaire de P est réelle. Pour trouver la condition de réalité, on peut former l'équation de la projection de l'intersection sur le plan des a:, y et écrire que cette projection est réelle. Il est plus simple d'opérer ainsi : rapportons l'ellipsoïde à trois diamètres conjugués, l'axe des x étant le diamètre OP; l'équation de l'ellipsoïde deviendra

Xi yi

ai bi c ^

Les coordonnées de P sont alors x'= p, y= o, z' = o et le plan polaire du point P a pour équation p^':= a''^ .

Les points de contact sont définis par l'équation précédente et celle-ci :

y'i ^'2 ^ ^ ct'2

La condition de réalité est alors o- >> a'^ ou -^ — i "> o ;

Mais l'identité

donne, pour le point P,

£i + Zi + il = p1' .

La condition demandée est donc

Gette inégalité exprime que le point P doit être extérieur à l'ellipsoïde. En effet, dans toute la région qui comprend le centre, la

fonction — +t^H — i — i a le signe — ; pour un point pris par

exemple sur l'axe des a?, à une dislance du centre plus grande que <?, ce poljnome a le signe -+-.

341. Plans tangents parallèles à un plan donné. — Soit ux -\- vy -\- wz = o, l'équation d'un plan; il s'agit de déterminer r de façon que ux -^vy-^-wz-{-r = o

représente un plan tangent à l'ellipsoïde donné. Pour cela, identifions cette équation avec l'équation du plan tangent en un point

xxq yyo zso

ce qui donne

d'où

au r

bv r

cw r

On obtient ainsi les coordonnées du pôle du plan (u, ç, w, r); pour que ce plan soit tangent, il faut et il suffit que le pôle soit sur l'ellipsoïde, ce qui détermine r :

Cette équation est l'équation tangentielle de l'ellip soïde. L'équation demandée est donc

ux -h i'y -+- w z = z\/a^u^-h b'V^-h c^vc^.

On peut donc mener à un ellipsoïde réel deux plans tangents parallèles à un plan quelconque (11, c, w) et les points de contact, qui sont diamétralement opposés, ont pour coordonnées

yo = ^