C^IV
342. Sphère de Monge. — Circonscrire à un ellipsoïde un trièdre trirectangle.
Il s'agit de déterminer neuf cosinus directeurs a,, pi, Yi j ^21 1^2? Yai «3, ^35 y3 et les coordonnées x,y, z d'un point, tels que l'on ait
a^ 37 H- P2JK -- Y2 ^ = £2/a*a|-f-62p|H-c2Y|, a\-r .\-^ 0.1^ i aiPi-<-a2p2-i-a3P3 = o,
Pî -^- .31-^ Pi - ' PlYl + P2Y2- P3Ï3= o,
YÎ-+-YI + Y3 = ' Yi *1 -t- Y2 «2 -t- Y3 «3 = O.
Ces neuf équations ne sont compatibles que si
On obtient, en effet, cette équation en ajoutant membre à membre les trois premières équations, après élévation des deux membres au carré.
Si le point (s^,y, z) n'est pas sur la sphère représentée par l'équation précédente, il est impossible de mener par ce point à l'ellipsoïde donné trois plans tangents rectangulaires deux à deux. Si la condition est remplie, les équations données se réduisent à huit. On peut, d'ailleurs, se rendre compte a priori de l'existence d'un lieu des sommets des trièdres trirectanglcs circonscrits à l'ellipsoïde.
En effet, considérons un cjlindre circonscrit à l'ellipsoïde; ce cylindre est elliptique; les plans tangents à l'ellipsoïde, menés par une parallèle aux génératrices du cjlindre, issue d'un quelconque des points du cercle de Monge relali i à une section droite de ce cjlindre, sont rectangulaires, et il n'j a plus qu'à mener à l'ellipsoïde des plans tangents perpendiculaires aux génératrices, pour obtenir ainsi une infinité de trièdres trirectanglcs circonscrits dont les sommets sont sur deux cercles. Le lieu demandé est engendré par ces cercles, quand la direction des génératrices varie. 11 résulte de ce qui précède que le lieu cherché est une sphère, qu'on nomme sphère de Monge^ relative à cet ellipsoïde.
Autre méthode. — Proposons-nous de former l'équation du cône supplémentaire du cône circonscrit à l'ellipsoïde, ajant pour sommet un point donné M(X(,jKt, 5,). Écrivons qu'un plan tangent passe par ce point :
uxx - vyx -}- wzx = y^a*M*-f- b^v^ ■+- c' w*.
La perpendiculaire abaissée du cenlre de l'ellipse sur le plan tangent considéré a pour équations
on en déduit immédiatement que le cône supplémentaire du cône circonscrit de sommet M et ayant pour sommet le centre de l'ellipsoïde a pour équation
Pour que l'on puisse mener à l'ellipsoïde donné, par le point M, trois plans tangents deux à deux rectangulaires, il faut et il suffît que le premier cône soit capable d'un trièdre trireclangle circonscrit, et, par suite, que le second cône soit équilatère, ce qui donne immédiatement cette condition que le point M doit être sur la sphère définie par l'équation
On voit ainsi que chaque point de la sphère de Monge est le sommet d'une infinité de trièdres trirectangles circonscrits à l'ellipsoïde.
Le centre de la sphère de Monge coïncide avec le centre de l'ellipsoïde, et le carré de son rayon est égal à la somme des carrés des demi-axes de l'ellipsoïde.
343. Lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à un ellipsoïde. — Si un cône G est de révolution, tout cône G' supplémentaire du premier est aussi de révolution, car les plans tangents au cône G faisant des angles égaux avec l'axe de révolution, les génératrices du cône G' font des angles égaux avec la parallèle à l'axe de G menées par le sommet de G' et réciproquement. D'après cela, pour exprimer que le point M {x\,yi, z^) est le sommet d'un cône de révolution circonscrit à l'ellipsoïde E, il suffit d'exprimer que le cône supplémentaire ayant, par exemple, pour sommet le centre de E, est de révolution. Nous avons obtenu l'équation de ce cône; en la développant, on obtient
■+- "^yi^iyz -t- izixizx -T- iXiYxxy = o.
Il faut nécessairement que le coefficient d'un rectangle soit nul, sans quoi, en égalant les nombres de Jacobi, on trouverait
Supposons donc, par exemple, B — B' = 0 ; pour cela, il suffit de poser ',1 — o, et ensuite
(x-^ a2-hc2)(jf— 62-i-c2) —x-\yl :-r o. On obtient ainsi un premier lieu défini par les équations
On trouve deux autres solutions :
Le lieu cherché se compose donc de trois coniques situées dans les plans principaux, concentriques et coaxiales aux coniques principales. Ces coniques ont reçu le nom àc focales; nous en verrons plus loin la raison. Si l'on suppose a > 6 > c, la focale située dans le plan des y, z est une ellipse imaginaire; celle qui est dans le plan des x, y est une ellipse réelle située entièrement à l'intérieur de l'ellipsoïde, et, enfin, la troisième est une hyperbole dont la partie extérieure à l'ellipsoïde est le lieu des sommets des cônes de révolution réels circonscrits à l'ellipsoïde.
HYPERBOLOIDES.
344. Plan tangent en un point dhin hyperholdide. — Considérons un hjperboloïde à une ou à deux nappes, rapporté à ses axes de sj métrie. L'équation du plan tangent en un point (.^Cq, jKo» ^o) de cette surface est
avec la condition
345. Mener à un liyperboloïde un plan tangent par un point donné. — Soient J7i, j-,, Sj les coordonnées du point donné P. Les coordonnées des points de contact des plans tangents issus de P sont définies par les deux équations
^ r! f^ ^ , ££i , yy\ -^i» p
^^0 , JKJKo a2 ^ 62
ZZq C2
^0 , yo
SaS CHAPITRE XXII.
Pour discuter ce système d'équations, nous distinguerons deux cas.
Premier cas : Hyperholoïde à une nappe. — Rapportons la surface à trois diamètres conjugués, l'axe des x étant le diamètre OP. Il y a plusieurs hypothèses à faire :
1° OP est un diamètre réel; l'équation étant
les coordonnées de P sont x'^ p, y'r^ o, z'^= o; les équations de la courhe de contact sont :
Dx' — a'^ ^ — ,__.
La seconde équation étant celle d'une hyperbole, on voit que le cône de sommet P, ayant cette hyperbole pour directrice, est toujours réel; si p' = ± a', le point est sur la surface et le cône se réduit au plan tangent en P, comme on le voit aisément.
2° OP est un diamètre imaginaire; nous pouvons poser ^'^ o, y = o, z' = p, les équations de la courbe de contact sont alors
On voit que le cône circonscrit de sommet P est encore réel.
3" OP est une génératrice du cône asymptote. Prenons pour axes des x et des y deux génératrices du cône asymptote, l'axe des z étant l'intersection des plans tangents menés le long de ces génératrices; l'équation de la surface sera de la forme
^2 -f- 2 B xy = r .
Nous pouvons supposer le point P sur l'axe des x : x = o, y = o, -5 = o. Le plan polaire de P a pour équation
Bpr = •;
il coupe donc l'hyperboloïde suivant une parabole; dans ce cas encore, le cône de sommet P est réel.
Deuxième cas i Hyperholoïde à deux nappes. — i° OP est un
diamètre réel. L'équation de la surface étant
nous supposerons x' = o, y' = o, z' = p. La courbe de contact du cône circonscrit de sommet P, a pour équations
Cette courbe est réelle si l'on suppose p'^ <; c'^ ou — S^ + i > o; c'est-à-dire si le point P est extérieur à la surface. La condition trouvée équivaut d'ailleurs à
elle exprime que P doit être dans la même région que le centre.
2" OP est un diamètre imaginaire. Nous pouvons supposer, par exemple x' = p, y' ^ o, z' = o, alors les équations de la courbe de contact sont
Celte courbe est une hyperbole, elle est donc réelle.
3° OP est une génératrice du cône asymptote. La conclusion est alors la même que pour l'hyperboloïde à une nappe.
