Plan tangent parallèle à un plan donné. — On obtient

ux-i-vy-\-wz=zt. y/ a- u^ -\- b^v^— c^ w^ pour l'hjperboloïde à une nappe et

ux-T-vy-^wz^^i \J c-w''- — a^Mî— b'^v'^

pourThyperboloïdc à deux nappes. On voit ainsi que l'on peut toujours mener, à l'un des deux hyperboloïdes conjugués seulement, deux plans tangents parallèles à un plan donné. Proposons-nous d'interpréter l'inégalité

a2f^2-t- ^^t-î— c2n^•« >o ou < o.

33o CHAPITRE XXH.

Pour cela, considérons le système

h -, =0, nx + vy + w z = o

Si w = o, on a a-iL^ -\- b-v^ >- o, et le plan sécant coupe le cône suivant deux génératrices réelles. Supposons w^o; la projection sur le plan des x^ y de l'intersection du cône et du plan (?<, v^ w) a pour équation

La condition de réalité est

a-p2 /(v2 itn /(V2 P2\

ou, en simplifiant,

Donc pour qu'on puisse mener à un hyperboloïde deux plans tangents parallèles à un plan donné, il faut et il suffît que le plan parallèle au plan donné, mené par le centre de l'hjperboloïde, coupe le cône asymptote suivant deux droites réelles, s'il s'agit d'un hyperboloïde à une nappe, suivant deux droites imaginaires dans le cas de l'hyperboloïde à deux nappes.

Si le plan est parallèle à un plan asymptote, il n'y a plus qu'une solution limite, qui est ce plan asymptote lui-même.