Sphère de Monge. — L'équation de la sphère de Monge est

pour l'hyperboloïde à une nappe et

372 ^yi ^ z^ = C^ — a^ — b^

pour l'hyperboloïde à deux nappes.

Etant donné deux hyperboloïdes conjugués, l'un d'eux seulemen t possède une sphère de Monge; c'est l'hyperboloïde à une nappe si

Lorsque a^ + b^ ^ c^, la sphère de Monge se réduit à son centre.

348. Lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits. — Oo trouve encore trois coniques situées dans les plans principaux. Il suffit, pour passer (lu cas de l'ellipsoïde à celui de l'hyperboloïde à une nappe, de changer c- en — c^ et pour l'hyperboloïde à deux, nappes a^ et 6^ en — a^ et -- h"^.

PARABOLOIDES.

349. Equation du plan tangent en un point d' un paraboloïde. — Nous supposons le paraboloïde rapporté à ses deux plans principaux et au plan tangent en son sommet; son équation étant alors

le plan tangent au point {x^, yo, Zo) a pour équation

avec la condition

350, Mener à un paraboloïde un plan tangent par un point donné. — La courbe de contact du cône circonscrit de sommet donné (.C) , j^j , ^ i ) a pour équations

yy\ zzi y^ z^

^^ 1 :^X -\- Xi, i = 2x;

on peut remplacer la seconde équation par celle-ci

y% ^2 ^ l yy\ -22i

qui représente un cylindre. Si l'on suppose pq << o, c'est-à-dire si le paraboloïde est hyperbolique, ce cylindre est lui-même hyperbolique. On peut donc mener à un paraboloïde hyperbolique une infinité de plans tangents par un point donné. Si l'on suppose pq >• o, pour fixer les idées supposons /> > o, q^o; dans ce cas, le cylindre obtenu est elliptique; en écrivant son équation sous la forme

on voit que la condition de réalité est

^^ -H --— IXi > O.

Cette inégalité définit la région extérieure au paraboloïde elliptique considéré. '

351. Plan tangent parallèle à un plan donné. — Identifions les deux équations

ce qui donne

1 Z!L — J^o — ^ u pv qw r

d'où

/• pv qw

Xq — - , JKo = ' -30=- •

On obtient ainsi les coordonnées du pôle du plan (u, v^ w, r)] pour que ce plan soit tangent, il faut et il suffît que son pôle soit sur la surface ou sur le plan lui-même, ce qui donne la condition

'lu 2U

on obtient aussi l'équation tangentielle

pv^ -f- qw^ = iru.

L 'équation d'un plan tangent peut se mettre sous la forme

ux + VY-\- wz + ^ — = o.

On peut mener à un paraboloïde un plan tangent parallèle à un plan donné, pourvu que ce plan ne soit pas parallèle à l'axe du paraboloïde.

352. Plan de Monge. — Soient [x\ , jKi , 5, ) les coordonnées d'un point M. Si un plan tangent au paraboloïde passe par M, on a

uxi -H vfi -t- wzi H {pv^ -^ qw"^) = o,

on en déduit l'équation du coue ayant son sommet à l'origine, et supplémentaire du cône circonscrit de sommet M, savoir

x(xxi -\-yy\ -+- zzi ) + { {py^ ■+- 9^"^ ) — "•

Ce cône est équilatère si

Donc chacun des points de ce plan est le sommet d'une infinité de trièdres trireclangles circonscrits au paraboloïde donné. Ce plan a reçu le nom àa plan de Monge.

3o3. Lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits. — Ecrivons que le cône dont nous venons de former l'équation est de révolution, nous trouverons ainsi pour le lieu cherché les deux paraboles ayant pour équations

y = o, z^- = {p — q){-2X-hp),

z=o, yi = {g —p}{2x-^q).

EXERCICES

1. Établir les équations relatives à un paraboloïde (3i9-3o3), en considérant cette surface comme limite d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde.

2. Trouver le lieu des sommets des trièdres dont les faces sont parallèles à un système de plans diamétraux conjugués d'un ellipsoïde A et tangentes à un second ellipsoïde B. (Concours général, i86o.)

3. Un plan tangent à un ellipsoïde détermine, avec les plans principaux, un tétraèdre dont le volume est constant; trouver le lieu du point de contact.

4. Mener par un point pris sur l'un des axes d'un ellipsoïde le plan tangent qui détermine, avec les plans principaux, le tétraèdre de volume minimum. (T.)

5. Trouver le lieu du point de concours de trois plans rectangulaires deux à deux et touchant chacun l'un des trois ellipsoïdes ayant pour équations

«2 + Aï ^è«-H/i'-' c^-hh^

X* yî

6. Si une corde d'un ellipsoïde passe par un point fixe, l'intersection des plans tangents aux extrémités de la corde» décrit un plan fixe.