Normales menées par un point à un ellipsoïde . — Soit
l'équation d'un ellipsoïde E rapporté à ses axes de symétrie. La
normale en un point (j:, y^ z) de la surface de cet ellipsoïde, a pour
équations
Les coordonnées des pieds des normales issues du point P(a, p, y) sont déterminées par l'équation (2) et les équations
«^(g — ar) h'^i^—y) c^y — -s) - X y z
Les points communs à l'ellipsoïde E et aux cjlindres représentés par ces équations sont les pieds des normales issues du point P.
Il est intéressant de remarquer que l'équation
représente, dans le plan des x, y, l'hyperbole d'Apollonius relative à la projection (a, P) du point P sur ce plan et à la section principale correspondante, bien que la projection d'une normale à E issue de P ne soit pas normale à la section principale.
On a l'explication de ce résultat en se rappelant la propriété de l'hyperbole d'Apollonius, énoncée t. II, p. 209, n° 4.
On tire des équations (2), en désignant par X la valeur commune des rapports,
a^oi 623 cSy
(^^ ^^^^X' ^=èi^' "=^-
Ces équations définissent une cubique ; les pieds des normales sont à l'intersection de cette cubique et de l'ellipsoïde E; ils correspondent aux valeurs de \ qui sont racines de l'équation
équation obtenue en écrivant que les coordonnées {x^y^z) définies par les équations (3) sont celles d'un point de E.
L'équation F Çk) = o est du 6^ degré et, à chaque racine, correspond une normale à E, issue de P. En outre, si l'on suppose « >» Z^ >> c, on reconnaît immédiatement que cette équation a toujours une racine réelle entre — 00 et — a'^elwne entre — c'^ei-\-ao : donc, d'un point donné, on peut mener à un ellipsoïde six normales dont deux au moins sont réelles. (Pour la discussion complète de l'équation F().)^o, voir Nouvelles Annales.^ 1870, p. 481, Joachimsthal.)
355. Étude de la cubique des normales. — La courbe représentée par les équation (3) est du troisième ordre; on voit, en effet, que les points de rencontre de cette courbe et d'un plan quelconque sont déterminés par une équation de la forme
u — r -4- V ,- ., -h w — — 4" -hr = o.
Les équations (3) donnent pour \ infini : x = o, y ^= o, z = 0. Pour X = o, on trouve x = a, y = ^, z = ^. Pour X = — a^, x est infini, y tx. z ayant des valeurs finies; de même pour X = — b^i y est infini et, pour X = — c^, z est infini. On voit ainsi que la cubique passe par le centre de l'ellipsoïde et par le point P et, enfin, qu'elle a trois asymptotes parallèles aux axes de symétrie de l'ellipsoïde.
Nous savons déjà que le cône ayant pour sommet un point quelconque d'une cubique et, pour directrice, cette cubique même, est du second degré; en particulier, la cubique (3) passant par le centre de l'ellipsoïde, par le point P et par les pieds des normales issues de P, il en résulte que les six normales issues de P sont sur un cône du second degré et les droites joignant
le centre de l'ellipsoïde aux pieds de ces normales sont aussi sur un cône du second degré. Nous allons former les équations de ces cônes. Écrivons ainsi les équations (3) :
Multiplions les deux membres de ces équations respectivement par b- — c^, c* — a^, a- — b^ et ajoutons : il vient
ou, sous forme entière,
a'^0L(b-^—c^)yz -h b'-^ (c'-— a"^) zx -^ c''^( (a^— b'-) xy = o.
On a ainsi l'équation du cône ayant pour sommet le centre de l'ellipsoïde et passant par les pieds des normales. On voit que ce cône a pour génératrices les axes de symétrie de l'ellipsoïde; par suite, il est équilatère.
Plus généralement, transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en prenant pour origine un point quelconque de la cubique, celui qui correspond à une valeur déterminée X' du paramètre et qui a, par conséquent, pour coordonnées
, a'-<z / HL. , cM-X'
En posant
X=:X'-^\, JK=y-f-Y, ^ = Z'-+-Z,
on a
(a2^X)(a2-hX')' (62+ X) (62-4- X'/ (c2-|- X) (c^^ X')'
d'où l'on tire
"--^^= (a2H-X')X' ^'-^^- (62-hX')Y' '-^^= (c2+X')Z>
en procédant comme plus baut, on obtient
a^-oi(b^-c^-) h^-^(c^--a^) c^Y(«^-^'^) ^ v
c'est l'équation d'un cône équilatère. Ce résultat est évident a priori puisque le cône doit passer par les points à l'infini de la cubique et, par suite, doit admettre des génératrices parallèles aux axes de l'ellipsoïde. E.i particulier, si X'= o, on a l'équation du cône des normales sous la forme
a(62— c2)YZ-hP(c2 — a2)ZX-t-Y(«2— 62)XY = o
NiEWENGLOWSKI. — G. an., III. J2
OU, par rapport aux anciens axes,
Ce cône passe par le centre de l'ellipsoïde, ce qui était évident a /j/'to/'i puisque la cubique des normales y passe.
Remarque. — La cubique représentée par les équations (3) est unicursale; il en est de même de toute cubique gauche. En effet, si l'on considère deux points fixes (A,B) pris sur cette cubique, la position d'un plan passant par là droite AB dépend d'un seul paramètre X; or ce plan ne coupe la cubique qu'en un seul point M différent de A et de B; les coordonnées de M sont donc des fonctions rationnelles de X.
Pôle normal et pôle tangentiel d'un plan. — Surface normopolaire. Synnormale. — Formules de Desboves.
356. Le pôle du plan passant par les pieds de trois des normales issues du point P est sur une surface trouvée par Desboves et qu'il a nommée la surface normopolaire de l'ellipsoïde donné. Soit M(ari, yi, ^i) le pôle du plan passant par les pieds A, B, G de trois des normales et soit M'(a72, ^2; -32) le pôle du plan passant par les pieds A', B', G' des trois autres normales. Le plan ABG ayant pour équation
^1 yy^ zzi
a^ bi c2
les valeurs de X qui correspondent aux trois pieds A, B, G sont les racines de l'équation
Pareillement, les valeurs de X qui correspondent aux trois autres pieds A', B', G' sont les racines de l'équation
a^2 PjKs 7^2
En raisonnant comme dans le cas d'une ellipse (II, i54), on en conclut l'identité
(a-^-^ly- (62+X)2 (c24-X)2
(XXi ^ pJKl Y-^1 \ / °^^i PJ>'2 Y^2
^a2-hX 62-1-X c2-i-X / Va2+X 62-hX c24-X En décomposant le second membre en fractions simples et identifiant au
KORMALES. 889
premier, et en supposant que le point P ne soit pas dans un plan principal, on obtient les relations suivantes :
(4) XiXi = — a'^, jj^, = 62, -,-, = c2,
.ri — X-y-h
,5) (^,^,^l(Z^l±£i£=i^lk^î±|lZi) = o,
En posant
les équations (5) peuvent s'écrire
Ixi^ x.i-\- [3 G — Y B — o, J1-+-./2-+-TA. — aG = o, -Si^--2 -+- aB — ^A = o.
En général, ces équations en a, p, y ne sont pas compatibles; si l'on multiplie par A, B, G et qu'on ajoute membre à membre, on obtient
k{xi -f- X2) -H B{yi ^yi) -+- G(-i -+-^2) = o;
et, en remplaçant A, B, G par leurs valeurs et x<i, y<,, z^ par ,
b^ c- > ) on voit que le point M doit être sur la surface du quatrième
degré ayant pour équation
La symétrie de la définition des points M et M' montre que le point M' doit être sur la même surface, qui est précisément la surface normopolaire de Desboves.
Si le point M est sur cette surface, les équations (6), dans lesquelles on tient compte des équations (4), se réduisent à deux et, dans ce cas, il y a une infinité de points P, situés sur une droite nommée synnormale relative à M ou encore synnormale du plan polaire de M.
Ainsi, étant donné un point M sur la surface normopolaire, on peut trouver sur la conique, intersection de l'ellipsoïde E par le plan polaire de M, une infinité de systèmes de trois points A, B, G, tels que les normales à E en ces points aillent concourir en un même point P, et le
34o CHAPITRE XXIII.
lieu de ces points P, correspondant à tous les systèmes de points A, B, G, est la synnormale relative au point M.
Si l'on se donne le point M, le plan polaire de M' a pour équation
il passe donc par les projections sur les axes du symétrique de M par rapport au centre de l'ellipsoïde (Joachimsthal).
HYPERBOLOIDES.
357. On obtient des résultats analogues à ceux de l'ellipsoïde; il suffît de changer dans les calculs précédents c- en — c- ou a- et b^ en — a- et — b'-.
