PARABOLOÏDES

358. Normales menées par un point à un paraboloïde. — Les équations de la normale en un point du paraboloïde défini par l'équation

étant

les pieds des normales à ce paraboloïde, issues d'un point P(a, [3, y), sont déterminés par l'équation (i) et les équations

tx — x P — y Y — z

En appelant \ la valeur commune de ces rapports, on en déduit

Ces équations définissent une cubique.

On déduit facilement des équations précédentes l'équation du cône des normales. En effet, si l'on pose

1)11 obtient

ce qu'on peut écrire

Kn multipliant les deux membres de ces équations respectivement par p — q, I, — I et ajoutant ensuite, membre à membre, on obtient

ou, en revenant aux axes primitifs,

Les pieds des normales issues de P sont les points communs à cette cubique et au paraboloïde; les valeurs de "k correspondantes sont les racines de l'équation

Celte équation étant du cinquième degré, on voit qu'on ne peut mener d'un point donné que cinq normales à un paraboloïde. La sixième est la parallèle à l'axe, si l'on regarde le paraboloïde comme limite d'ellipsoïdes ou d'iijperboloïdes.

339. Quadrique de révolution passant par les pieds des normal ef: issues de P. — En écrivant ainsi les équations (2)

et multipliant les deux termes de ces rapports respectivement par 2x,y, z, on voit que la somme des dénominateurs est nulle; il en est donc de même de celle des numérateurs, ce qui prouve que les pieds des normales issues de P sont sur la quadrique de révolution, ayant pour équation

ix^ -t- j'2 -t- 2^ — 2a:r — ^y — Y-- == ^1 dont l'axe est la parallèle à l'axe du paraboloïde menée par le point ayant pour coordonnées a, - > -> c'est-à-dire par le milieu de la perpendiculaire abaissée du point P sur l'axe du paraboloïde.

360. Pôle normal et pèle tangentiel d'un plan. — Surface normopolaire. — Synnormale. — Formules de Desboves. — En regardant le paraboloïde elliptique comme limite d'un ellipsoïde et le paraboloïde hyperbolique comme limite d'un hyperboloïde à deux nappes, on peut déduire des formules de Desboves, relatives aux quadriques à centre, des formules analogues relatives aux paraboloïdes.

En partant de l'équation

xi y2 -2.

et posant a; = X — a, puis — = p, — = or, et faisant grandir a indéfiniment, r ' '^ a a

on obtient, à la limite,

•^ -h — — 'iX = o.

Dans les formules (5), (6) et (7) relatives à l'ellipsoïde (page SSg), rempla-

cons a7o, Vo, z^ par j j > puis X\ par X\ — a et a par a — a, et

•^ a?! jKi zi '

posons b^=^pa, c^ = qa et enfin faisons croître indéfiniment a, nous obtiendrons, à la limite, les équations

l{pz^+qy'^)x-^ip — q)[iqy^ — ipz^-]-pq{p — q)] = o,

ipxz%-\-{'2.pz''- — a^jK^-H qp"^ — Pq"^) Y = ■i.xz{-iy''' — px -+- p-)i

•iqxytj. -\- {iqy'^ — o.pz''- -\- pq''- — q P^) P = ixy{iz'^ — qx -\- q-)^

p'^zi-hq-^yi = — iXiyiZi.

La première est l'équation de la surface normopolaire et les trois autres représentent la synnormale relative à un point (x,y,z) de la surface normopolaire; ces équations en a, P,y se réduisent en effet à deux, si x^y^z sont les coordonnées d'un point de cette surface.

Calcul direct. — On peut obtenir ces formules par un calcul direct, que nous allons indiquer rapidement.

Si Xi, yi, Zi sont les coordonnées du pôle du plan mené par les pieds de trois des normales issues du point P (a, p, y), ce plan a pour équation

yyi zzi

•i^^^ 4- X — Xi = o

et, par suite, trois des racines de l'équation (3) vérifient l'équation