Si l'on représente par

vy -H wz -1-1=0 l'équation du plan mené par les pieds des deux autres normales, parallèle-

ment à l'axe du paraboloïde (c'est-à-dire du plan mené parles pieds des trois autres normales), les deux autres racines de l'équation (3) sont les racines de l'équation

on doit donc avoir identiquement

^p + ly.-^ {q-^Xy 2(a-i-A)

En faisant l'identification, on trouve immédiatement

et, par suite, quand on connaît le pôle (^i,^i,^i) du plan passant par trois des pieds des normales issues du point (a, P,y), l'équation du plan mené parallèlement à l'axe, par les pieds des deux autres normales, issues du même point, est

yx -1

Nous laisserons au lecteur le soin d'achever le calcul.

EXERCICES

1. En deux points M, M' d'un ellipsoïde, on mène les normales. Le plan, mené par le milieu de la corde MM' et perpendiculairement à cette corde, passe par les milieux des lignes qui joignent les points de rencontre des normales avec chacun des plans principaux. (Laguerre.)

2. Quelle est, parmi les normales à un ellipsoïde, celle qui est la plus éloignée du centre. (Mannheim.)

3. On donne un ellipsoïde de centre O, dont les demi-axes sont a, b, c. Soient a, p, y les angles que la normale, en un point M de cet ellipsoïde, fait avec les axes de symétrie. On demande de déterminer en fonction de a,

i° La distance ^ de 0 au plan tangent en M; 9.° La distance o de O à la normale en M; 3° La longueur OM ; 4" Les angles de O m avec les axes;

5° La longueur mp de la portion de la normale en M comprise entre ce point et l'un des plans principaux. ( Svéchnicoff.)

4. D'un point P, pris sur une normale en un point A d'un paraboloïde

(elliptique), on peut mener à la surface quatre autres normales, ayant pour pieds les points B, C, D, E ;

1° Trouver l'équation de la sphère S passant par les quatre points B, G, D, E;

1° Trouver le lieu des centres 1 des sphères S, quand ce point P se déplace sur la normale en A, ainsi que la surface engendrée par la droite PI.

(Concours général, i883.)

5.. Un ellipsoïde est coupé par un plan parallèle à l'un des plans principaux ; montrer que les normales à cet ellipsoïde aux points de la section rencontrent deux lignes droites fixes, situées dans les deux autres plans principaux.

6. Les pieds des normales à une quadrique, qui rencontrent une normale donnée, sont sur un cône du second degré ayant pour sommet le pied de la normale fixe.

7. Trouver l'équation de la surface engendrée par les parallèles, menées par l'origine, aux normales à l'ellipsoïde

aux points ok cette surface est coupée par la surface homofocale ayant pour équation

8. On mène des normales à un ellipsoïde aux points où cet ellipsoïde est coupé par une sphère concentrique : lieu de leurs traces sur un plan Çi\c et, en particulier, sur l'un des plans principaux de l'ellipsoïde.

9. Si l'on fait mouvoir le point de départ des normales à un ellipsoïde successivement sur les parallèles aux axes, menées par un point donné P(a, P,y), les traces des normales sur les plans principaux conjugués à chaque parallèle seront sur les sections du cône des normales issues de P par ces mêmes plans.

10. Quand le point P est dans un plan principal, le cône des normales issues de P se réduit à deux plans, dont l'un est le plan principal et le second un plan perpendiculaire.

Pour avoir les pieds des normales, issues du point (a, p, o), par exemple, qui ne sont pas dans le plan principal z — o, on considère la droite ayant pour équations

du pôle de cette droite, pris par rapport à l'ellipse principale, on abaisse une perpendiculaire sur cette droite elle-même, et du pied de cette perpendiculaire on mène des tangentes à l'ellipse qui se projette sur le plan prin-

cipal, suivant la droite considérée; les points de contact sont les pieds des deux normales cherchées.

11. Le. lieu géométrique des points, auxquels correspond un cône des normales qui soit de révolution, se compose de quatre droites.

12. Les axes principaux d'un cône circonscrit à un ellipsoïde sont des génératrices du cône des normales issues du sommet de ce cône.

(Ghasles.)

13. Quand plusieurs surfaces du second degré sont homolhétiqucs et concentriques, les normales à ces surfaces, menées par un point donné, sont sur un même cône du second degré. (Ghasles.)

a. Les normales, menées d'un point à toutes les quadriques passant par l'intersection d'une quadrique donnée et d'une sphère ayant pour centre le point donné, sont sur un même cône du second degré. (Ghasles.)

15. Par un point donné, passent toujours dix synnormales réelles ou imaginaires; à un point donné, d'où l'on abaisse six normales à un ellipsoïde, correspondent toujours vingt pôles conjugués (pôles de plan passant par les pieds de trois des normales) dont deux au moins sont réels. Parmi les dix synnormales, il y en a toujours au moins deux de réelles.

16. Un plan perpendiculaire à un plan principal d'un ellipsoïde a toujours une synnormale.

17. Quand un plan a une synnormale par rapport à un ellipsoïde donné, cette droite passe par les pôles normaux conjugués aux projections du pôle du plan considéré sur les plans principaux, par rapport à chacune des ellipses principales.

18. Si l'on considère les normales dont les pieds sont sur une section plane d'un ellipsoïde, chaque normale est coupée par deux autres normales, et le lieu des points d'intersection se projette sur le plan sécant, en général, suivant une cubique.

19. La condition nécessaire et suffisante pour que trois normales, dont les pieds sont sur une section plane d'un ellipsoïde, se coupent en un même point, est que le pôle du plan sécant se projette sur un plan en un point d'une certaine ellipse, et alors le plan sécant a une synnormale.

20. Quand un plan non parallèle à l'un des axes d'un ellipsoïde a une synnormale, cette droite jouit des propriétés suivantes : i° elle se projette sur le plan, suivant une normale à l'ellipse de section; a'' elle perce l'ellipsoïde en un point de cette môme ellipse; 3° elle passe par le pôle normal conjugué, par rapport à l'ellipse de section, de la projection du pôle du plan sécant sur ce plan lui-même; 4° ^^ synnormale d'un plan non parallèle aux axes n'est jamais normale à l'ellipsoïde.

21. Étant donné un plan dont le pôle est sur la surface normopolaire, trouver le nombre des normales réelles, passant par un point de la synnor-

maie du plan et dont les pieds sont sur la section correspondante. Construire ces normales.

22. Déterminer le nombre des normales réelles passant par un point de la synnormale commune à deux plans et dont les pieds soient sur les sections déterminées par ces plans. Construire ces normales.

23. Lieu des points d'où l'on peut mener des normales doubles à un ellipsoïde.

24. Lieu des points d'où l'on peut mener des normales triples à un ellipsoïde.

25. Les pieds des normales à un ellipsoïde, issues d'un même point, ne sont jamais sur une même sphère.

26. Démontrer que la synnormale d'un plan de pôle (a, p, y) est perpen-

27. Démontrer que la synnormale d'un plan mené par trois sommets d'un ellipsoïde (non situés dans un même plan) passe par le centre et que le pôle du plan se projette sur ce plan, à l'intérieur de l'ellipse de section, quand la

plus grande des trois quantités -, j, - est plus petite que la somme des deux

autres et à l'extérieur, dans le cas contraire.

28. Démontrer que si le point de départ des normales à un ellipsoïde se déplace sur l'un des axes, le lieu des pôles des plans qui passent par les pieds des normales prises trois à trois est formé de deux courbes.

29. La surface normopolaire d'un ellipsoïde de révolution se réduit à deux couples de plans.

30. Etendre les résultats précédents aux hyperboloïdes. Les plans sécants peuvent donner des sections paraboliques; on propose de démontrer qu'alors la condition nécessaire et suffisante pour que ce plan ait une synnormale est que son pôle se projette sur lui, sur une perpendiculaire à l'axe de la parabole de section, menée à une distance du sommet égale au paramètre de cette courbe, et du même côté que le foyer.

31. Faire voir que sur chaque normale il existe toujours deux points de départ de normales doubles dont les pieds se confondent avec celui de la normale donnée (ce sont les centres de courbure de la surface au pied de la normale donnée. )