Etendre aux paraboloïdes les questions précédentes
33. Trouver la condition pour qu'un plan ait une synnormale par rapport à un cône du second degré.
34. Par deux droites passant par le sommet d'un cône du second degré on mène des plans tangents à ce cône et par les génératrices de contact des plans normaux. Conditions pour que les quatre plans normaux se coupent suivant une même droite.
35. Si l'on coupe un cône par un plan parallèle à celui des plans principaux qu'il faut choisir pour que la section soit une ellipse et qu'on détermine les quatre points où la section coupe quatre génératrices correspondant à quatre plans normaux, passant par une même droite, les quatre points obtenus seront les pieds de quatre normales à l'ellipse issues d'un même point, et réciproquement.
36. Discuter la réalité des normales menées d'un point à un cône du second degré.
{Voir pour toutes ces questions : Théorie nouvelle des normales aux surfaces du second ordre, par Desboves (Paris, IMallet-Bachelier).]
37. On coupe une surface du second degré par un plan; aux différents points de l'intersection, on mène les normales à la surface; par un point de l'espace on mène des droites égales parallèles aux longueurs interceptées sur ces normales entre leur pied sur la surface et le plan de symétrie; les extrémités de toutes ces droites sont sur une conique. (Laguerre.)
38. Soit K la courbe d'intersection d'une surface du second degré et d'une sphère ayant pour centre un point d'un plan principal de la surface; désignons par C la projection orthogonale de K sur ce plan de symétrie, et par C le lieu des points où ce même plan est coupé par les normales élevées aux diflerents points de K, C et G' sont deux coniques ayant leurs axes parallèles, et, si l'on désigne respectivement par a^ et a"^, 6* et b''^ les carrés des axes parallèles, on a à^a'^— b^b'-. (Laguerre.)
GÉNÉRATRICES REGTILIGNES.
Propriétés des génératrices rectilignes d'une quadrique.
361 . Quadriques admettant des génératrices rectilignes réelles. — Cherchons quelles sont les quadriques autres que les cônes, les cylindres ou les systèmes de deux plans, sur lesquelles on peut tracer des droites réelles. Soit une droite réelle D tracée sur une quadrique; un plan sécant, mené par D, coupe la quadrique suivant deux droites réelles qui sont : la droite D et une seconde droite D'.
La section par le plan tangent en un point quelconque M pris sur D étant parsuite du genre hyperbole, il ne peut}' avoir de droites réelles sur un ellipsoïde ni sur un paraboloïde elliptique. 11 ne peut pas non plus y en avoir sur un hyperboloïde à deux nappes, car le plan tangent en un point M de cette surface la coupe suivant deux droites imaginaires conjuguées; comme on le voit, par exemple, en rapportant la surface à trois diamètres conjugués, le demi-diamètre réel étant OM. L'équation de la surface étant alors
xi yi ^^ __
le plan tangent au point x = o, y=o, z = c' a pour équation z = c el la section par ce plan est définie par les deux équations
11 ne reste plus à considérer que l'hyperboloïde à une nappe et le
paraboloïde hyperbolique.
L'équation d'un hyperboloïde à une nappe peut se mettre sous la
forme
et celle d'un paraboloïde hyperbolique,
X, Y, Z, T étant des polynômes linéaires distincts. En écrivant ainsi
ces équations
et
on voit que l'une et l'autre peuvent se mettre sous la forme
PQ = RS
P = o, Q=:o, R = o, S = o représentant quatre plans formant un tétraèdre (dont l'une des faces est à l'infini, dans le cas du paraboloïde).
Cela étant, je dis qu'on peut tracer une infinité de droites réelles sur les quadriques représentées par une équation de la forme précédente.
En effet, les équations
dans lesquelles le paramètre X est variable, représentent une droite mobile située sur la surface H considérée, car on obtient l'équation de cette surface en éliminant \ entre ces équations.
Il en est de même pour la droite mobile représentée par
([i) P = !JlS, Q=-R.
Je dis maintenant que si X et u. varient de — oo à +00, chacune de ces droites engendre la quadrique H tout entière. C'est ce que démontre le théorème suivant.
362. Théouème. — Par chaque point de la quadrique H, il passe une droite (À) et une droite {^).
En effet, soient Xq, jKoj ^o» '0 les coordonnées d'un point M appartenant à la quadrique H; pour que la droite (X) passe par M, il faut et il suffit que le paramètre \ vérifie les deux équations
Pq = A Rq, Qo = y So,
A*0) Qo> Ro> So désignant les résultats de la substitution de .Tq, j'oi ^01 ^0 «1^1^ coordonnées courantes dans les polynômes P, Q, R, S. Or, les équations précédentes sont compatibles, car, en éliminant )>, on obtient PoQo=RoSo, et cette équation est vérifiée, puisque Je point M est sur la quadrique H. On verrait de même qu'il passe par M une droite (jjl).
Les droites (X) et les droites ([x) pouvant décrire la quadrique 11 tout entière, on voit que tout hjperboloïde à une nappe et tout paraboloïde hyperbolique peuvent être engendrés de deux manières différentes par une droite; en d'autres termes, ces surfaces sont des surfaces réglées qui admettent deux systèmes de génératrices rectilignes. Il reste à prouver que ces systèmes sont différents et qu'il n'y en a pas d'autres. Ce qui suit le démontre.
363. Théorème. — Une droite Çk) et une droite (tj.) ont un seul point commun.
35o CHAPITRE XXIV.
En effet, le système des quatre équations
P = XR,
Q=is.
eut s'écrire
XjJL I
P = [jlS, Q=-R
ce qui prouve que la droite (X) et la droite (p.) ont un point commun, et un seul, dont les coordonnées tétraédriques P, Q, R, S sont respectivement proportionnelles à Xpi., i, jji, X. On peut toujours résoudre le système linéaire en x, y, z, t :
P=:X[JL, Q=i, R=H, S = X;
on en déduira
ce =: aXix -r- b\ -{- c n -+- d,
Les coordonnées cartésiennes du point commun à la droite (a) et à la droite ([j.) sont donc
X a'kix -^ b\ -h c [x -h d y a'\\x-\-... z a"X|j.-!-...
t à" XiJL -f- b'" X -H c'" ]x -f- d" ' t ^ d" X (jl-I- . . . ' 1 ~ d"\\x -\- . . .
On voit que si l'on donne à X une valeur déterminée, \x variant de — oo à -1-30, le point défini par les formules précédentes décrit une droite tout entière, la droite (X). Ainsi une droite (X) est rencontrée par toutes les droites ([i.).
On voit en outre par ces formules que le rapport anharmonique des quatre points d'intersection de la droite (X) par les droites (|jii), (fJ^-î), (fJ^s)» (F^i) est indépendant de la valeur de X. D'où ce théorème : les droites d'un système déterminent sur deux droites de l'autre système des divisions homographiques.
364. Equation du plan passant par une génératrice (à) et une génératrice ([jl). — Un plan passant par la droite Çk) a pour équation
P — XR + A(XQ — S) = o;
de même Téquation d'un plan passant par la droite (jjl) est
P— [jiS-i-/c([a.Q — R) = o.
Ces plans sont identiques si
h = tx, k = X.
Lccjuallon clierchde est donc
P — XR— [jLS-f-X|xQ = o.
Cette équation représente le plan tangent au point de rencontre des deux génératrices considérées; en cherchant son enveloppe, on retrouve l'équation de la surface.
On verrait ainsi que les quadriques ne sont pas des surfaces développables si on ne le savait déjà par leurs équations tangentielles.
365. Théorème. — Deux génératrices dUin même système n'ont aucun point commun.
Pour qu'un système de valeurs de ce, y, z, t vérifient le système
P = XR, Q = x^, P = X'R, Q-=)^S, il faudrait supposer
et, comme on suppose \-^ V, on devrait poser
R = o, S = o, d'où F = o, Q = o,
ce qui est impossible puisque les quatre polynômes P, Q, R, S sont distincts.
