L'équation d'un hyperboloïde à une nappe rapporté à ses
axes de symétrie étant
x^ y^ z^- «2 -+- èi ~ 32- -^'
écrivons cette équation sous la forme
On obtient ainsi les deux systèmes de génératrices rectilignes au moyen des équations
(X) ^^£=xf.+ î), {-î = ^f.-
368. Coordonnées du point de rencontre d'une génératrice (À) et d'une génératrice (u). — On lire des équations précédentes, regardées comme formant un système,
d'où
ensuite,
fX-A
fX-X.
[ji -+- X '
Tx'
Les coordonnées d'un point quelconque de l'hyperboloïde peuvent ainsi s'exprimer au moyen des paramètres ^, [x par les formules
X |X X JK XlJH-I s X|JL I
a~|Ji. + X b [Ji-t-X c (J.H-X
369. Condition de parallélisme d'une génératrice (1) et d'une génératrice ((x). — Les formules précédentes montrent que, à
toute génératrice (a), correspond une génératrice (li.) qui lui est parallèle; la condition de i)arallélisme est p,-(-)v= o.
370. Equation du plan contenant une génératrice (X) et une génératrice (ui). — En procédant comme dans le cas général (364), on trouve
OU
Telle est l'équation du plan tangent au point (X, ui.).
En particulier, si l'on pose [j. = — X, on obtiendra l'équation
^ (i — X2)H- ï(i-|- À2) aX - = o, 6 c a
qui représente un plan asymptote. L'enveloppe de ce plan, quand X varie, est le cône asymptote.
371. Théorème. — Toute génératrice rectiligne d'un hyperboloïde à une nappe rencontre L'ellipse de gorge.
L'ellipse de gorge est la section par le plan principal contenant les deux axes réels; c'est donc, dans le cas présent, la section faite par le plan des x^ y. Or, si l'on considère le point de la surface ayant pour paramètres X, r^, ses coordonnées sont
X2-I , -il
On voit ainsi que par tout point de l'ellipse de gorge passe une
génératrice (X) et une génératrice ([x), celle-ci définie par l'équa-
tion UL = v* ' X
Plus généralement, une génératrice rectiligne rencontre toute section plane de la quadrique au point commun à cette génératrice et au plan de la section.
372. Variation de l'angle d'une génératrice avec le plan de l'ellipse de gorge. — Soit M un point de l'ellipse de gorge; prenons pour axes le
NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. 23
diamètre OM , le diamètre conjugué ON et conservons [l'axe des z; l'équation de l'hyperboloïde sera ainsi
Le plan tangent en M a pour équation X — a' ; il en résulte que les deux génératrices passant par M sont définies par les équations
Si l'on nomme cp l'inclinaison de l'une ou de l'autre de ces génératrices sur le plan de l'ellipse de gorge, on a donc
tangcp^l^.
Si le point M décrit le quart de l'ellipse, depuis le sommet A jusqu'au sommet B, cp va en croissant de oq à çi, ces angles étant définis par les
équations
tangtpo= ,, tangcp, = -•
373. Théorème. — Les génératrices j'ectilignes sont parallèles aux génératrices du cône asymptote.
Les équations de la parallèle à une génératrice (X) menée par le centre sont
En éliminant X, on obtient l'équation du cône asymptote; il^en est de même pour une génératrice ([jl), et VonVoit que, si \ ou [x varient, chacune des parallèles à ces génératrices, menées parle centre, décrit le cône asymptote tout entier.
On voit ainsi qu'à toute génératrice du cône asymptote corresrespondent une génératrice (X) et une génératrice parallèle ([x).
374. Théorème. — Trois génératrices d^un même système ne sont pas parallèles à un même plan.
En effet, s'il en était ainsi, les parallèles à ces génératrices menées par le centre seraient dans un même plan, ce qui est impossible, car ce plan devrait couper le cône asymptote suivant trois droites.
On peut encore raisonner ainsi : soit
abc
l'équation d'un plan passant par l'origine ; pour que ce plan contienne la parallèle à une génératrice (X), menée par le centre de l'hyperboloïde, il faut et il suffit que
Cette équation étant du second degré en X, il ne peut y avoir que deux génératrices au plus qui soient parallèles au plan donné.
375. Théorème. — Les projections cV une génératrice sur le plan principal sont tangentes à la section principale correspondante.
Soit M un point appartenant à une section principale; les génératrices passant par M sont dans le plan tangent en M; ce plan étant perpendiculaire au plan principal, les projections de ces génératrices sur ce plan principal sont tangentes à la section principale.
La démonstration analytique est aussi simple. Considérons, par exemple, la projection d'une génératrice (A) sur le plan xOy ; son équation, dans ce plan, est
- — aXr-t-i = o;
l'enveloppe de celte droite est l'ellipse de gorge.
376. Génération recliligne de l'hyperboloïde à une nappe. — Considérons, par exemple, trois génératrices rectilignes A, B, C d'un hyperboloïde à une nappe, appartenant à un même système; une droite mobile, assujettie à rencontrer ces trois droites, coïncidera successivement avec toutes les génératrices du second système. En effet, soit M un point quelconque de la droite A; il n'y a qu'une droite qui passe par M et rencontre B et C. Cette droite coïncide donc avec la génératrice du second système passant par M, et il n'y a plus qu'à supposer que M parcoure la droite A tout entière, pour que la droite mobile coïncide successivement avec toutes les génératrices du second système
Fig. 36.
Réciproquement, étant données trois droites quelconques K^ B, C NON PA.1ULLÈLES A UN MEME PLAN, unc droitc niobUc assujctlic à
rencontrer ces trois droites engendre un hyperboloïde à une nappe.
En effet, on peut construire un parallélépipède (que l'on nomme le parallélépipède de Binet) en menant par chacune de ces droites deux plans respectivement parallèles aux deux autres {Jig- 36); si l'on prend pour axes de coordonnées les parallèles aux droites données, menées par le centre de ce parallélépipède, en appelant 2«, 2^, 2C les longueurs des arêtes, les équations des droites A, B, C sont respectivement
Pour définir une droite LMP s'appuyant sur A et sur B, écrivons l'équation d'un plan mené par A et celle d'un plan mené par B :
(i) c — c + X(jK-t-6) = o,
exprimons que cette droite rencontre C, ce qui donne la condition
( 3 ) X 6 -h [Jt a = c.
L'équation du lieu s'obtient en éliminant )v et [x entre les équations (i), (2), (3). On trouve ainsi, tons calculs faits,
ayz
cxy
abc = o.
La surface représentée par cette équation a un centre unique, qui est l'origine des coordonnées; son cône asymptote est réel, car il contient les axes. Enfin, c'est une surface réglée ; c'est donc un hyperboloïde à une nappe. D'ailleurs, on peut écrire l'équation obtenue sous la forme
GÉNÉRATRICES RECTILIGNES. SSy
Les droites A', B', C, symétriques des premières par rapport au centre, font évidemment partie de la surface de l'hyperboloïde; on a ainsi un hexagone gauche y inscrit.
377. Si l'on rapporte la surface précédente à ses axes de symétrie, en nommant 2a, 2p, ?.Y les longueurs des axes, on aura
2{ayz -h bzx -h cxy -f- abc) ~l k i— "^ 7^1 — ~ — M'
et l'on voit que k = — t-abc.
Le module de la substitution qu'il faut faire pour passer des coordonnées rectangulaires aux coordonnées obliques est égal à co', oj ayant la signification habituelle. Le discriminant de la forme du second degré du second
membre est égal à — ^..^ ■> et celui du premier est égal à iabc\ on a donc
ri *
c'est-à-dire
labc = ■ — -77- t^i-,
4 a^Y = 2«6cw.
Or, Sabcoi est le volume du parallélépipède construit sur A, B, C ; on peut donc énoncer ce théorème, dû à M. Genty:
Le volume du parallélépipède de Binet construit avec trois génératrices quelconques, d'un même système, d'un hyperholoïde à une nappe est constant et équivalent à la moitié du volume du parallélépipède construit sur les longueurs des axes (aa, 2(3, i^f).
378. Relations homo graphiques. — Nous savons déjà que les génératrices d'un système tracent sur les génératrices de l'autre système des divisions homographiques. On peut retrouver aisément cette propriété sur la figure précédente; il suffit, en effet, de remarquer que la projection de la génératrice LMP, faite parallèlement à l'axe des z sur le plan des droites A et B', passe par un point fixe P' et trace, par suite, des divisions homographiques sur A et sur l'arête D'M' parallèle à B; on a en effet
ib ia
DM' D'L
et, par suite,
■ib 2 a
On peut d'ailleurs démontrer encore cette proposition en remarquant que les projections de quatre génératrices d'un même système et la projection d'une génératrice du second système sur l'ellipse de gorge étant des tangentes à cette ellipse, le rapport anharmonique des points d'intersection de ces gé-
nératrices est égal au rapport anharmonique des points d'intersection de ces tangentes à l'ellipse de gorge.
Considérons deux génératrices fixes d'un même système A, B, et soient ai, «2» ^3> ^4 et b^, 62, 63, 64 les points où ces deux génératrices sont rencontrées respectivement par quatre génératrices de l'autre système. Le rapport anharmonique des quatre plans menés par B et les droites a^bi, a^b^i 0.3 bs, a^bit est égal au rapport anharmonique des quatre points «i, a^, «3, a^, et de même le rapport des quatre plans menés par A et les mêmes génératrices du second système est égal à celui des points èi, 62, 63, 6v On peut donc dire qu'une génératrice du second système est l'intersection de deux plans correspondants de deux faisceaux homographiques ayant A et B pour arêtes. La réciproque est vraie; nous l'avons déjà démontrée (160).
Génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique.
379. Les génératrices rectilignes d'un paraboloïde hyperbolique possèdent, outre les propriétés établies plus haut, quelques propriétés caractéristiques que nous allons établir.
L'équation d'un paraboloïde hyperbolique pouvant se mettre sous
la forme
