PQ = R
les deux systèmes de génératrices sont définies par les équations
(X) P = XR, Q=J
On obtient ainsi cette proposition :
Théorème. — Les génératrices de l'un des systèmes sont parallèles à Vun des plans directeurs et les génératrices du second système sont parallèles à V autre plan directeur .
380. Théorème. — Deux génératrices d' un paraboloïde hyperbolique ne sont jamais parallèles.
En eflfet, il suffît évidemment de considérer deux génératrices de systèmes différents, car deux génératrices d'un même système sont les intersections de deux plans parallèles par des plans non parallèles; or une génératrice ().) étant parallèle au plan Q, et une génératrice ([x) parallèle au plan P, les deux droites ne peuvent être
GÉNÉRATRICES RECTILIGNES. SSq
parallèles que si elles sont parallèles à l'inlersection des plans P et Q, c'est-à-dire à l'axe du paraboloïde. Mais, toute parallèle à l'axe ne rencontrant la surface qu'en un seul point, il n'y a pas de génératrice parallèle à l'axe.
On vérifie d'ailleurs très simplement cette proposition avec les équations écrites plus bas.
381. Supposons maintenant le paraboloïde rapporté à ses plans principaux et au plan tangent en son sommet; son équation peut se mettre sons la l'orme
en supposant/? ^ o, ^ >> o.
Les systèmes de génératrices seront alors définis par les équations
\/p sjq ' s/p \/q >'
sip siq VF s/q ''■"
382. Théorème. — Les projections des génératrices sur un plan principal sont tangentes à la section principale correspondante.
En efTet, la projection d'une génératrice ()v), par exemple, sur le plan xOy a pour équation, dans ce plan,
il^x — il ■— -I- I — o.
VP
L'enveloppe de cette droite, quand "k varie, a pour équation
aa: = o.
383. Projections des génératrices sur le plan tangent au sommet.
La projection d'une génératrice ().) sur le plan tangent au *om-
met a pour équation
ce qui montre, comme on devait s'j attendre, que celte projection a une direction fixe.
Le point de rencontre de cette génératrice avec le plan tangent a pour coordonnées
ce point décrit la génératrice du système ([x) situé dans le plan tangent.
Fig. 37.
384. Il est facile de construire les génératrices passant par un point donné
de l'une des paraboles principales. Soit, en effet, M (Jiê'. 37) un point de la parabole située dans le plan xOy. La tangente en M à cette parabole s'obtient en abaissant MA perpendiculaire sur l'axe, et prenant BO = OA; la tangente cherchée est la droite MB. Au point B correspondent deux points N, N' de la seconde parabole principale et NA, N'A sont les tangentes en ces points. Les génératrices cherchées sont les droites MN, MN'; on obtient facilement leurs projections sur le plan tangent au sommet: ce sont les droites PQ, P'Q; leurs traces sur ce plan tangent sont les points I, K etles droites 01, OK sont les génératrices situées dans le plan tangent au sommet.
385. Variations de l'inclinaison d'une génératrice sur le plan des x,y. — En appelant a l'angle NMB, on a
NB
tanga=g^.
Soit X l'abscisse du point M; on a
vv\
NB = v/'-i?^, BM = v/■i/'a7^-4^^
d'où
tanga
p désignant le rayon vecteur MF relatif au foyer F. On voit ainsi que si x
varie de o à -h co, p varie de - à -t- oo et, par suite, a va en diminuant de aj il o, Xi étant l'angle aigu défini par l'équation
tanga. = ^|.
386. Problème. — Trouver une génératrice parallèle à une direction donnée.
Clierchons s'il y a une génératrice (X) parallèle à la direction définie par les paramètres a, p, y. La parallèle à une génératrice (X) menée par l'origine a pour équations
on doit donc déterminer X de façon que
Le problème n'est donc pas possible, en général; il faut, en effet, que
"Jp s/q'
c'est-à-dire que la direction donnée soit parallèle au plan directeur qui est parallèle au\ génératrices du système considéré.
Si cette condition, qui était évidemment nécessaire, est remplie, le problème est possible et n'a qu'une solution.
Si, en effet, l'on suppose ^ = A" \p^ y = k \Jq^ on prendra X = — • De même, si ^ = A- //>, y = — A y/^, il faudra prendre [j. = - •
387. Application. — Soit M un plan perpendiculaire au plan directeur P; il y a une génératrice G du système (|ji) perpendiculaire au plan M, pourvu que M ne soit pas parallèle à l'axe. Les génératrices (X) rencontrent toutes la génératrice G; donc leurs projections orthogonales sur le plan M ont un point commun, qui est le pied de la génératrice G sur le plan M.
