GÉNÉRATION RECTILIGNE DU PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE
388. Soient G,, Go deux génératrices du même sjstème d'un paraboloïde hyperbolique; les génératrices du second sjstème rencontrent G) et Go et sont parallèles à un plan directeur, non parai-
lèle aux deux premières droites. Donc la surface peut être engendrée par une droite mobiJe assujettie à rencontrer les deux droites G( , G2 et à rester parallèle à un plan fixe.
La réciproque est vraie; nous l'avons déjà établie (172).
389. Second mode. — Considérons trois génératrices G|, Go, G3 du même système et, par suite, parallèles à un même plan directeur ; les génératrices du second système rencontrent G(, Go, G3 ; donc le paraboloïde donné peut être engendré par une droite mobile s'appuyant sur les trois droites données.
Réciproque. — La surface engendrée par une di^oite mobile, assujettie à s^ appuyer sur trois droites parallèles A UN MÊME PLAN, cst wi paraholoïdc hyperbolique.
Soient D, D', D" (yfig. 38) les trois droites données parallèles à un même plan. Prenons pour axe des z une droite s'appuyant sur les trois droites données, l'origine étant surD; puis prenons 0.r parallèle à D' et Oy parallèle à D".
Les équations des droites données seront
y — mx
Une droite A s'appuyant sur D' et D" a pour équations
La condition pour que cette droite rencontre D est
(3) bXni — a[ji. = o.
L'équation du lieu engendré par A s'obtiendra donc en éliminant ). et [j. entre les équations (i), (2), (3); ce qui donne, en
z{bpx — ciqy) — ab{px — qy) = o.
posant 771
Cette équation représente un paraboloïde hyperbolique, pourvu
qu'on suppose
abpq (a — b) ^ o .
Si l'un des facteurs de ce produit est nul, l'équation représente deux plans; ce qu'il est facile d'expliquer.
Hyperboloïde et paraboloïde de raccordement.
390. Déterminer le plan tangent en un point de la surface réglée engendrée par une droite qui se déplace en s' appuyant sur trois courbes données. — Les tangentes en A, B, G aux courbes directrices, définissent un hyperboloïde à une nappe dont la génératrice ABC fait partie; cet hyperboloïde et la surface considérée ont mêmes plans tangents en A, B et G; donc elles ont même plan tangent en tout point M de leur génératrice commune ABC {fig. 39). Pour avoir le plan tangent en M à la surface considérée, il suffira donc de construire le plan tangent en M à l'hyperboloïde ; pour cela il n'y aura qu'à tracer deux droites A'B'G', A'B'G", s'appuyant sur les tangentes AA', BB', CG' et à mener par M une droite MM'M", qui rencontre A'B'G' et A''B"G''; le plan AMM' est le plan tangent demandé.
Fig. 3cj.
Fig. /jo.
On aura une solution analogue pour la surface engendrée par une droite assujettie à s'appuyer sur deux courbes données, et à rester parallèle à un plan donné P. On considérera le paraboloïde ayant pour plan directeur le plan donné et dont les tangentes en A et B aux directrices données seront deux génératrices. 11 suffira de couper ces tangentes par deux plans parallèles au plan directeur et de mener par M une droite MM' qui s'appuie sur les génératrices obtenues A'B', A'B" {fig. ^o). Le plan AMM' est le plan tangent en M au paraboloïde et à la surface engendrée par AB.
L'hyperboloïde et le paraboloïde considérés ont reçu les noms de paraboloïde et à' hyperboloïde de raccordement.
Méthode générale pour trouver les droites tracées sur une surface.
391. Soit /(a7,jK, -s) = o l'équation d'une surface; pour exprimer que la droite ayant pour équations
x^=az-\-p, y = bz-\-q
est sur cette surface, il suffit d'écrire que l'équation
f{az -hp, bz-^q):^ o
est vérifiée identiquement.
Si l'équation de la surface est algébrique et de degré m, l'équation en z sera au plus de degré m', il faudra donc que a, b, p, q soient assujettis à m -+- 1 conditions. Donc, en général, si /n >> 3, le problème est impossible.
Si /n = 3, on a quatre équations pour déterminer quatre inconnues, donc une surfacedu troisième degré a, en général, «re nombre déterminé dedroites. On démontre qu'il y en a alors au plus vingt-sept. Mais il peut y en avoir une infinité et il existe des surfaces réglées d'un degré aussi élevé qu'on veut.
Si /7i = 2, les quatre inconnues ne sont assujetties qu'à trois équations; il y a donc une infinité de droites, réelles ou imaginaires, sur toute surface du second degré. En suivant cette méthode, nous allons retrouver les génératrices rectilignes des quadriques, dont nous obtiendrons les équations sous une forme nouvelle.
