Hyperboloïde. — Soit
l'équation d'un hyperboloïde à une nappe. Ecrivons les équations d'une droite sous la forme suivante
L'équation
devant être vérifiée identiquement, nous poserons
Il faut donc que (a, [3) et (/>, q) soient les coordonnées de deux points appartenant à un même cercle de rayon i et, en outre, que les rayons correspondants soient rectangulaires. Nous sommes ainsi conduits à poser
a = coscp, p = sincp; /? = cosO, g'=sinO; cos(G — cp) = o, c'est-à-dire 0 = (f h 1- /itt.
GÉNÉRATRICES RECTILIGXES. 365
Il suffit évidemment de faire les deux hypothèses A- = o et A- = i. 1° A- = 0. On a alors
0 = ç-f--, p — — sintf, q =^ costp.
On obtient ainsi un premier système de génératrices définies parles équations
- = - coso — sino, V = - sincs -+- coso. a c ^ ^ b c ' ^
û Bit
0 = cp H , /> = sino, q = — C0SC5,
ce qui donne le second système
ce z . y z .
— = - coso -H sino, ~ ^= - sino — coso. rt c ' ' 6c' '
A une même valeur de ç correspondent ainsi deux génératrices de systèmes différents, parallèles.
On peut exprimer les inconnues au moyen de 0; on trouve ainsi
- = - sinO -f- cosO, -=7- = — - cosO -i- sinO a c oc
et
oc z y z
- = sin8 -+- cosO, ,- = - cosO -t- sinO.
a c oc
A une même valeur de 0 correspondent ainsi les deux génératrices de systèmes différents qui rencontrent l'ellipse de gorge en un même point.
Remarque. — On peut écrire l'équation de la surface de façon à mettre en évidence les génératrices. En effet, les équations d'une génératrice peuvent s'écrire
- coso -I- =7- sin o = - 5 - sino — 4 coso = — i ;
en faisant la somme des carrés, on obtient
:^smcpj+(^-sin'-?--^-cosoj
C'est l'équation de la surface. Elle est vérifiée en posant
- cos o -I- ,- sin o = - » - sin o — ~ cos o = £ :
en prenant £ = -hi et£ = r-i)Ona ainsi deux génératrices parallèles. Autre calcul. — On peut aussi écrire les équations
x — xq y—yo z — zq
- cos o -t- r sin o 1 -H ( - sin o — — cos o ) r = i •
a ' b V Va ' b ' / c-
et exprimer que
/(a7o-+- ap, jKo+ P?, So-+- TP) = o, quel que soit p.
Appliquons celte méthode à l'hyperboloïde. On obtient
a'-' "^ ' 62 cl "~ ' '
ce qui donne
On voit qu'on obtiendra les génératrices en coupant la surface par les plans tangents au cône asymptote; les génératrices situées dans un plan asymptote sont parallèles à la génératrice de contact du cône asymptote.
393. Paraholoïde. — Nous mettrons l'équation d'une droite sous la forme
-^— — <xx -{- h, --- = ^x -\- k,
\/p \lq
et nous poserons
(aa7 + A)2— (^57 4- k)''-—ix = o, ce qui donne
a2 {32 ^ o, a/i — p>t = 1, /i2 A-2 = o ou
p = sa, /c := s'A, a/i(i — es') = i.
On ne peut prendre ss' = i ; donc e' = — s, et, par suite,
•XOL -la.
Donc, en posant successivement s = -4- i et £ = — i, nous obtenons les deux systèmes
-^ = ajc H j — — = aa?
v//? 2a ^^ -xa
et
ris 1
-7^ = y.x ~, 5 — - = — ax -\ .
\/p aa ^/g 17.
On peut mettre ces équations sous la forme
slp H sip slq '^
y £ ^ . 21 -• jL = 1 .
\Jp s/q ' >/p s/q ^
On peut d'ailleurs donner à a des valeurs diflérentes dans ces deux systèmes. Si l'on conserve la même valeur à a, on voit que le plan contenant les deux génératrices a pour équation
ce plan est perpendiculaire au plan des x, y; ce qui s'explique en remarquant que les deux génératrices percent ce plan au même point. Les génératrices passant par le sommet correspondent à a infini.
