ASYMPTOTES D UN PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE
394. Première méthode. — Écrivons, comme plus haut, les équations d'une
droite sous la forme
■^ = ax -{- h, -j7: = ^x + k,
yp vq
et formons l'équation aux abscisses des points d'intersection de cette droite et du paraboloïde
{a.x -t- h)-— (3^-!- A")- — IX = o.
Pour que les deux racines soient infinies, il faut et il suffit que
On lire de ces équations
ce qui donne
et
-^ r= OLX -{- h, —— = tX -f- A
—: = a.x -ir II, -— — — OLX ll-\
\Jp \lq ^
Considérons la première droite et la génératrice rectiligne parallèle ayant pour équations
■^—xx-\ » -— = «a: .
yjp i« s/q 2a
Le plan de ces deux droites a pour équation
il- 4- = 1.
On voit que ces droites coïncident si /i = — » De même, la seconde droite et la génératrice, ayant pour équations
-^ = aa?H , -— = — aa^H ,
\/p 2a ^q aa
sont parallèles et leur plan a pour équation
Donc, pour avoir toutes les asymptotes, il suffit de mener par chaque génératrice un plan parallèle au plan direcLeur correspondant et, dans le plan obtenu, une droite quelconque parallèle à cette génératrice.
Deuxième méthode. — Ecrivons les équations d'une droite sous la forme générale
x — xç^ y—yo z — zq a - p - Y -P'
et écrivons que l'équation en p
— i{xq-^ ap) = o a ses deux, racines infinies. On doit donc poser
La première équation se décompose en deux autres. On peut évidemment poser simplement
1° p = v/^, Y=.v/^, d'où a==^--^
VP s/q
ou
2° P = v/p, Y = — /s'' d'où a=^4-^.
SIP \q
On obtient ainsi pour l'équation générale des asymptotes
x — x^ ^ y—yo ^z — Zq £ = ±i.
On voit qu'il passe deux asymptotes par chaque point de l'espace; si le
point est pris sur le paraboloïde on obtient des droites situées sur la surface.
393. Plans asymptotes du paraboloïde. — Considérons deux génératrices définies par les équations
et
les coordonnées de leur point commun sont
Ce point est à l'infini si a = o ou si j3 = o. Le plan tangent en ce point a pour équation
Si p =
cette équation se 1
réduit à
et
, pour
= 0, on obtient
Les plans asymptotes sont donc les plans menés par chacune des génératrices parallèlement aux plans directeurs correspondants,
396. Exercice. — Lieu des points par lesquels passent deux génératrices rectangulaires d'une quadrique réglée.
\° Hyperboloïde. — Le lieu cherché est la courbe d'intersection de l'hyperboloïde et de la sphère de Monge y relative. On peut établir cette proposition de diverses manières.
Première démonstration. — Soient M un point du lieu et MA, MB deux génératrices rectangulaires. Si nous menons la normale MC, le trièdre trirectangle MABC est circonscrit à la surface, car MAC et MBC sont des plans tangents; le point M est donc un point de la sphère de Monge.
Deuxième démonstration. — La section par un plan passant par le centre et parallèle au plan MAB est une hyperbole équilatère; si l'on nomme b' et c' deux diamètres conjugués de cette hyperbole, on a
0^1^ + b'i — c'î = aï 4- 62 — c2.
NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. a^
Mais b' — c', donc
Réciproquement, si cette dernière condition est remplie, b'^ = c'* et, par suite, MA est perpendiculaire à MB.
Démonstration analytique. — Les coordonnées du point de rencontre d'une génératrice (X) et d'une génératrice ([i.) sont
fjL — X , Xjx-i-i Xu. — r X — a ^ , y = b — ^ , z = c — ^ ,
[JL-f-A "^ [JL-i-X [X-hA
et la condition d'orthogonalité des deux génératrices considérées est
4«2X[JL — ^*2( X2 - l) (fx2— l) — C2(X2+ r)(|JL2-l- l) = O.
On peut écrire cette condition de façon à mettre en évidence les fonctions Xjj. H- i, X[Ji — I, [X -i- X, [i. — X ; on obtient très simplement
a2([JL — X)2+62(X[JL+I)2+C2(X;JI — l)2— (a2 4-^,2 c2)(X-l- 11^=0,
ce qui prouve que
Paraboloïde. — La condition d'orthogonalité des génératrices représentées par les équations
et
est la suivante
\lp s/q s/p \/q ^
s/p s/q ' ^p \Jq \^
Il s'agit d'éliminer X et [jl entre ces trois équations. On doit trouver deux équations; l'une d'elles est évidemment celle du paraboloïde. Pour obtenir l'autre, remarquons que
Xi^ p q'
Donc, le lieu est l'intersection du paraboloïde et du plan ayant pour équation
ix -\- p — q =z o,
qui n'est autre que le plan de Monge. Le lieu est donc une hyperbole.
Quand p = q on dit que le paraboloïde est équilatère; le plan de Monge est alors le plan tangent au sommet; le lieu se compose donc, dans ce cas, des deux génératrices passant par le sommet. Ces génératrices sont rectangulaires,
GÉNÉRATRICES RECTIUCNES. 871
car les deux plans directeurs d'un paraboloïdc équilatcrc sont rectangulaires, et réciproquement.
EXERCICES
1. Chercher ce que devient l'équation d'un cylindre circonscrit à un hyperboloïde à une nappe, quand la direction des génératrices du cylindre devient celle d'une génératrice rectiligne de l'hyperboloïde.
2. Trouver la droite conjuguée d'une génératrice rectiligne d'une quadrique.
3. Les hauteurs d'un tétraèdre sont quatre génératrices d'un hyperboloïde à une nappe.
4. Quatre génératrices d'un hyperboloïde étant données, construire le tétraèdre qui admet ces quatre droites pour hauteurs.
5. Dans un tétraèdre quelconque : 1° les droites, qui joignent les sommets aux centres des cercles inscrits dans les faces opposées sont les génératrices d'un même hyperboloïde; 2° celles qui joignent les sommets aux centres des médianes antiparallèles des faces opposées jouissent de la même propriété.
(Neuberg.)
6. Soient A', B', G', D' les projections des sommets d'un tétraèdre ABGD sur un plan quelconque. Démontrer que les perpendiculaires abaissées de A', B', G', D' respectivement sur les plans BGD, GDA, DAB, ABG sont les génératrices d'un même hyperboloïde. (Neuberg.)
7. Soient A', B', G', D' les projections des sommets d'un tétraèdre ABGD sur un plan P, et soient A|, Bi, Gi, Dj les orthocentres des triangles B'G'D', G' D'A', D'A'B', A'B'G'. Démontrer : 1° que les perpendiculaires abaissées des points A' et Ai sur le plan BGD et les six droites homologues appartiennent à un même hyperboloïde; 2° que les perpendiculaires, abaissées du milieu des droites A'Ai, B'Bi, G'Gj, D'Di sur les faces correspondantes du tétraèdre ABGD, concourent en un même point. (Nelberg.)
8. Le centre de la sphère circonscrite à un tétraèdre, le centre de l'hyperboloïde passant par les quatre hauteurs, le centre de gravité du tétraèdre sont en ligne droite. (Joaciiimsthal.)
9. Trouver les génératrices rectilignes de l'hyperboloïde ayant pour équation
ayz -h bzx -¥■ cxy 4- t/ = o.
Les conditions pour que cet hyperboloïde soit de révolution sont a ^* ^
I — COsX I — COS(Jl 1 — cosv
X, [JL, V étant les angles des axes de coordonnées. Interpréter géométriquement ces conditions. (De Saint-Germ.vin.)
10. Deux hyperboloïdes à une nappe Hj, Hj ont une génératrice commune L. Par tout point m de L passe une génératrice Li de Hi et une génératrice L2 de H2. Comment varie l'angle de ces deux droites quand m parcourt L.
(Dew'llf.)
11. Si par un point fixe P, pris sur un hyperboloïde réglé, on mène des droites s'appuyant sur les diagonales des quadrilatères que forment deux génératrices fixes du premier système avec deux génératrices variables du second système, ces droites sont situées dans un même plan.
(Neuberg.)
12. Soient A, B, G trois génératrices d'un même système de l'hyperboloïde H; A', B', G' trois génératrices d'un même système de l'hyperboloïde H'; P un point quelconque de l'intersection des surfaces H, H'. Par P, on mène les deux droites qui s'appuient, respectivement sur les couples de droites (A, B'), (A', B); soit y le plan passant par ces droites. On obtient, d'une manière analogue, deux autres plans a, p, en combinant, d'une part, les couples (B, G'), (B', G), et, d'autre part, les couples (G, A'), (A', G). Les plans a, p, Y passent par une même droite. (Neubeug.)
13. En un point P d'un hyperboloïde à une nappe, on mène les deux génératrices; puis, par chaque génératrice, un plan perpendiculaire au plan tangent en P; ces plans touchent l'hyperboloïde en deux points Q, R; trouver l'équation du plan passant par QR et par le centre de l'hyperboloïde.
(Ed. Lucas.)
14. Soit cp(a7, j', z) l'ensemble des termes du second degré dans le premier membre de l'équation d'un hyperboloïde à une nappe. Si l'on désigne par H le discriminant de ce premier membre rendu homogène ; par y, Y > T'j ^ '^^ mineurs de H, qui correspondent respectivement aux demi-coefficients de x,y, z, t dans y/; enfin par X, \x, v trois paramètres assujettis seulement à la condition ç(X, jx, v) = o; les projections, sur les plans coordonnés, des génératrices de la surface appartenant à l'un des deux systèmes, auront pour équations
A(À^ — va7)-f-vY — Xy"+ Y V H cp' = o, A(|Jia7 — \y) + Xy' — HT +2- /^^ Vr ~ ^'
En changeant le signe de /H , on obtiendra les équations qui se rapportent à l'autre système de génératrices. (TissoT.)
13. Dans un paraboloïde hyperbolique, la génératrice de chaque système, qui passe par le sommet, est celle sur laquelle les génératrices de l'autre système interceptent les segments les plus petits. (TissoT.)
