TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTILIGNKS
\uiL C)j| à sa gauche et Oj"! à sa droite, nous dirons que les deux trièdrcs sont de même espèce, et d'espèces contraires s'il n'en est pas ainsi.
Cela posé, la formule D = db (owt montre que D ne peut être nul que si (I) = o ou 0)1 = o; mais to = ± sin (jl sinv sin A, donc lo ne peut être nul que si les droites Ox, Oy, Oz sont dans un même plan; remarque analogue pour Wj. Or, on peut déformer les trièdres d'une manière continue de façon à les rendre trirectangles; il résulte de ce qui précède que D ne changera pas de signe, et, comme les trièdres ne changeront pas d'espèces, on en conclut que D est positif s'ils sont de même espèce, négatif s'ils sont d'espèces contraires.
38. La fonction <|;(.r,y, ^) reste invariable quand on effectue une transformation de coordonnées sans changement d'origine. — Soit M un point quelconque dont les coordonnées anciennes sont x.,y^ z, et les nouvelles, x' , y' , z' . On a
puisque chacune de ces expressions est la mesure de OM .
C'est d'ailleurs ce que l'on peut A'érifier par le calcul. En effet, si l'on fait la substitution linéaire définie par les formules (3), '^ix,y^ z) se change en un polynôme homogène du second degré dans lequel le coefficient de x'^ est égal à <^(/>, q^ r), c'est-à-dire i ; pareillement, pour les coefficients àc y'^ et de z"^. Le coefficient Aq y' z' est égal à
dp vq Or
c'est-à-dire acosX', etc.
Si l'on nomme M le module de la substitution, et si l'on remarque que les discriminants de 'ij{x,y, 5) et de '^{x\y', z') sont respectivement to"^ gj ^,'î^ on a
quand les deux systèmes d'axes sont rectangulaires, JNP = i.
Formules d'Euler.
39. Si l'on veut passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées rectangulaires et de même origine, on peut exprimer les coordonnées anciennes d'un point quelconque en fonction des nouvelles et de neuf cosinus liés entre eux par six relations. Il en résulte qu'on doit pouvoir exprimer les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles et de trois paramètres arbitraires. C'est ce que l'on peut réaliser au moyen des formules suivantes, dues à Euler, quand on suppose que l'on
puisse faire tourner le premier trièdre autour de son sommet, de manière à le faire coïncider avec le second.
Soient Oxj^z, Ox'y'z' {fig. 17) deux trièdres trirectangles remplissant
cette condition.
Désignons par 0 l'angle zOz' et soit N' N l'intersection des deux plans xOy,x'Oy'\ nous choisirons la demi-droite ON, de telle sorte qu'un observateur, placé les pieds enO la tête en N, voie Oz à sa gauche et Oz' à sa droite, et nous désignerons par cp l'angle ipON, cet angle étant compté de o à ïtt. Enfin, nous appellerons i]' l'angle dont il faut faire tourner ON, l'axe de rotation étant Oz' , pour l'amener en Ox', la rotation autour de Oz' étant regardée comme positive de gauche à droite pour un observateur placé les pieds en O la tête en z' ; on peut compter l'angle t|^ de o à 271.
Gela étant, je dis qu'en faisant tourner le trièdre Oxyz successivement autour de 0^ d'un angle égal à cp, autour de ON d'un angle égal à 0, et enfin autour de Oz' d'un angle égal à ([», on lui fera prendre finalement la position Ox^yiZi- En effet, la première rotation amène Oa; en ON et Oy en Oy^,
l'angle de O^i avec Oy étant égal à <p, et, par suite, NOjki étant égal à -•
La droite ON est donc perpendiculaire aux trois droites Oy^, Oz. Oz'-, si nous faisons tourner autour de ON, de l'angle 6 et de gauche à droite, le trièdre O'^y^z, Oz viendra en O' z et Oyi prendra la position Oy^, perpendiculaire à Os' et, par suite, dans le plan x'Oy'. Il est évident que la troisième rotation, autour de Oz', fera coïncider ON avec Ox^ et Oy^ avec Oy'. Cela étant, si nous nommons a;], ;^], z^ les coordonnées d'un point M.{x,y,z) par rapport au système ON^iz; x-^, y^, ^2 l^s coordonnées du même point par rapport aii système O^y^z', et enfin x' , y' , z' ses coordonnées par rapport à Ox'y' z', on a successivement à considérer trois transformations de coordonnées planes, ce qui donne
x =a:^iC0SÇ) — jKi sinip, y — Xi%\no -+- j'icoscp.
/ y^^y^COsO — ^2 sinO, ' Sj = jKa sinô -H S2COS6,
Zi
X2 = a7'cos(|^ — y' sin<\i, y^^:^ x' sini|; -{-y' cos4',
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES «ECTILIGNES. Sj
En éliminant les inconnues auxiliaires, on obtient sans difficulté
X = a"'(coscp cosJ; — sincp sirn]; cosO)
— ^'(coso sin6 -I- sin» cos'\i cos6) -+- 2' sin<p sinO,
j' = :r'(sin(p cost]/ -f- COSO sini]; cosO)
— ^'(sinç sinili — cosçcos<J/ cosO) — z' cos© sinO,
z = x' s\x\<\i si II 6 -h y cost{; sin6 -\- z' cosG.
Cas particulier : (L z= o. — Les formules se simplifient beaucoup dans ce cas; elles se réduisent à
X = 37' cosç — y sin o cosO -+- z' sincp sinO, Y = x' si» o -\- y coscp cosO — z' coscp sin 0, z ^^ y sin6 -f- z' cosO.
iO. Application. — Rapporter la section d^ une surf ace par un plan donné à deux axes tracés dans ce plan.
On transporte d'abord l'origine des coordonnées en un point O du plan sécant, les nouveaux axes Ox, O^, O^ étant parallèles aux anciens. Nous savons former l'équation f{^x,y^z)^=o de la surface rapportée aux nouveaux axes.
Cela fait, on prend pour nouvel axe des x la trace du plan sécant sur le plan Oy, le nouveau système étant d'ailleurs rectangulaire comme Oxyz.
L'équation de la surface rapportée aux axes Ox'y'z' sera
f{x' COSO — y sin<p cosO, ^' sin tp -+-j'' coscf cos6, y' sinO -+- z' cosO) = o;
par suite, l'équation de la section rapportée aux axes Ox'y' s'obtient en faisant z' =^ o dans l'équation précédente, ce qui donne
/(ar'coso — y'sinocosô, a?'?intp-i-j>'' costf cosO, ^' sinO) = o.
Il est d'ailleurs très facile d'obtenir directement cette équation.
Classification des surfaces.
41. Les formules de transformation de coordonnées étant linéaires, si l'équation d'une surface est algébrique et de degré m par rapport à un système déterminé de coordonnées rectilignes, l'équa-
tion de la même surface rappoi'tée à tout autre système de coordonnées rectilignes pouvant s'obtenir au moyen des formules de transformation, c'est-à-dire par une substitution linéaire, sera encore algébrique et de degré m.
On a ainsi été conduit à distinguer les surfaces en deux classes : les surfaces algébriques, c'est-à-dire celles dont l'équation peut se mettre sous la forme fix-, y, z) = o, f{x, y, z) étant un polynôme entier en x, y et z, et les suif aces transcendantes, dont l'équation n'est pas algébrique.
On appelle ordre d'une surface algébrique le degré de son équation.
42. Une droite quelconque rencontre une surface algébrique d'ordre m en m points {au plus). — En effet, rapportons la surface considérée à trois axes, l'axe des z étant la sécante donnée. L'équation de la surface est alors f\x,y^ 5) =: o, qui est du degré m au plus par rapport à z.
Dans le cas le plus général, cette équation est de degré m effectivement, et, par suite, l'axe des z coupe la surface donnée en m points. Si le degré de l'équation s'abaisse de^ unités, p des points de rencontre sont à l'infini.
En conservant les conventions habituelles, nous pouvons donc dire qu'une droite quelconque coupe toute surface d'ordre m en m points à distance finie ou infinie, réels ou imaginaires, distincts ou non.
Réciproquement, si une droite quelconque coupe une surface algébrique en m points, cette surface est d'ordre m.
43. Théorème. — Toute section plane d'une surface d'ordre m est une courbe d'ordre m.
En effet, si le plan sécant est pris pour plan des x, y, l'équation de la section rapportée aux axes Ox, Oy s'obtiendra en faisant z^o dans l'équation de la surface. Il peut arriver que l'équation ainsi obtenue se décompose; dans ce cas, la section se composera de deux ou plusieurs courbes d'ordre inférieur à m, ou d'un certain nombre de droites et de courbes, ou bien sera composée uniquement de droites; enfin, quelques parties de la courbe obtenue peuvent être à l'infini, si le degré de son équation s'abaisse au-dessous de m.
