I . 'Jt . 3 OU

rn^ -h 6 m- -H 1 1 /?i

Il en résulte qu'il faut N points pour déterminer une surface d'ordre m. Si m = 2, on a N = </. Il faut neuf points pour déterminer une surface du second degré. Pour abréger, nous appellerons (juadrique toute surface du second degré. Pour l'équation d'une quadrique, nous adopterons les notations suivantes

Kx^^ A'^2 | \" -1 ^ 2 V>yz -^ 'iH' zx-^ ?. B" a^K + 2 C .r + 2 C'y -h ?X" 5 -+- D = o

0(^,7, z)^Oi{x, y,z)-^'D = 0,

cp (^, y^ z) étant le polynôme

A r' 4- A 'j'î -+■ A" z"' -\- i Byz -+- 2 B'-a? -4- '2 ii"xy, e\.Oi{x,j-, z) représentant

iCx -+- 1QI y -f- iÇa" z.

45. Courbes gauches. — On nomme courbe gauche une courbe dont tous les points ne sont pas dans un même plan. On nomme courbe algébrique toute courbe qu'on peut obtenir par l'intersection totale ou partielle de deux surfaces algébriques. Si les deux surfaces sont d'ordres m et/?, un plan quelconque coupant la première suivant une courbe d'ordre m et la seconde suivant une courbe d'ordre /?, et ces deux courbes ayant mp points communs, on voit que le plan sécant rencontre la courbe commune aux deux surfaces en mp points. On appelle ordre d'une courbe gauche le nombre de points

4o CHAPITRE II.

communs à cette courbe et à un plan sécant quelconque. D'après cela, la courbe commune à deux surfaces d'ordre m et p est une courbe d'ordre mp.

46. Remarque. — Si une courbe gauche est d'ordre p, p étant premier, elle ne peut constituer à elle seule toute l'intersection de deux surfaces algébriques. Ainsi, par exemple, une courbe gauche du troisième ordre est une partie de l'intersection de deux cônes ayant une génératrice commune. Soient, en effet, A et B deux points d'une cubique gauche. Le cône ayant pour sommet le point A, et pour directrice la cubique est du second ordre, puisqu'un plan quelconque mené par A, ne coupant la cubique qu'en deux points P, Q autres que A, coupe ce cône suivant deux droites AP, AQ; de même, le cône de sommet B, ayant la cubique pour directrice, est du second degré. L'intersection de ces deux cônes se compose de la cubique et de la droite AB. Il résulte immédiatement de là qu'une cubique gauche est déterminée par six points A, B, C, D, E, F ; car, le cône du second ordre de sommet A ayant pour génératrices les droites AB, AC, AD, AE, AF, et le cône du second degré de sommet B et ayant pour génératrices BA, BG, BD, BE, BF, sont évidemment déterminés, attendu que chacun d'eux a un sommet donné et pour directrice la conique passant par les cinq points d'intersection d'un plan avec les cinq génératrices données.