Foyers d'un ellipsoïde. — Soient

l'équation d'un ellipsoïde rapporté à ses axes de symétrie et a, j3, y les coordonnées d'un foyer. Nous devons déterminer X, a, p, y de façon que

représente un système de plans qui se coupent. Il suffit d'écrire que la qua-

drique représentée par l'équation précédente a une ligne de centres située sur cette surface. Les équations du centre sont

Ces équations devant se réduire à deux, il est nécessaire que l'une d'elles disparaisse identiquement; on doit donc poser, par exemple, y = o, X = — ;

ce qui confirme l'observation faite plus haut, car -- est une racine de l'équation en S relative à l'ellipsoïde considéré. Les deux autres équations deviennent

a 2 "^ 6-2 "^ a^'—e- ' l ^ c2 ^ 62— c2 '

Substituant les valeurs de - et de ,- ainsi trouvées dans l'équation (i), on a b 1 V /

obtient, tous calculs faits,

«2 fi2

On a ainsi obtenu une infinité de foyers situés dans le plan xOy; le lieu de ces foyers est une conique. On obtient encore deux autres coniques, situées dans les deux autres plans principaux, dont tous les points sont des foyers; leurs équations sont

Ces trois coniques sont les focales de l'ellipsoïde donné.

Si l'on considère un des foyers F, situé par exemple dans le plan xOy, la directrice correspondante a pour équations

a, 8, o étant les coordonnées de F.

La polaire du pied D de la directrice dans le plan xOy par rapport à l'ellipse section principale de l'ellipsoïde donné située dans ce plan a pour équation

Xa Y8

On voit que cette polaire est la tangente en F à la focale et, en outre, qu'elle est perpendiculaire à la droite DF, qui joint le foyer au pied de la

FOCALES. — QUADRIQUES HOMOFOCALES. 'l 'i i

directrice correspondante; on voit, en effet, que la focale et l'ellipse principale ont les mêmes foyers, et l'on sait que le lieu des pôles d'une droite par rapport à une famille de coniques homofocales est une droite perpendiculaire à la première.

On trouverait des résultats analogues pour les hyperboloïdes.

408. Remarque. — Nous avons déjà obtenu les focales comme lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à la quadrique. Il est facile d'expliquer ce résultat. En effet, si une sphère est bitangente à une quadrique, on peut circonscrire à celte quadrique et à cette sphère deux cônes (465) qui sont évidemment des cônes de révolution; si le rayon de la sphère est nul, les deux cônes se réduisent à un seul ayant son sommet au centre de la sphère; donc le centre d'une sphère de rayon nul bitangente à une quadrique est le sommet d'un cône de révolution circonscrit à cette quadrique. Réciproquement, si un cône de révolution est circonscrit à une quadrique, toute sphère y inscrite est bitangente à la quadrique, et, si son rayon est nul, son centre est confondu avec le sommet du cône; donc le sommet du cône peut être considéré comme le centre d'une sphère de rayon nul bitangente à la quadrique donnée.