t- ni2 On peut donc écrire

a?',/' étant les coordonnées du pied de la directrice.

Mais le second membre de l'identité précédente représente le carré de la distance du point M(a7, y, z) au point oij la directrice est rencontrée par le plan mené par M parallèlement au plan cyclique considéré. Donc, la distance d'un point quelconque M d'une quadrique à un foyer de seconde espèce de cette surface est proportionnel à la distance du même point à la directrice, cette distance étant comptée parallèlement à un plan cyclique réel.

•472. Nouvelle définition des foyers d'une surface. — Une sphère de rayon nul est un cône isotrope; un foyer est donc le sommet d'un cône isotrope bitangent à la quadrique. Soit F un foyer; le cône isotrope de sommet F est tangent à la quadrique en deux, points M, M': les génératrices FM, FM' s'appuient sur le cercle de l'infini. Supposons que le foyer F se déplace sur une focale; les plans tangents menés par FM et FM' à la développable circonscrite à la quadrique et au cercle de l'infini se déplacent et engendrent deux nappes de cette développable; la focale appartient à chacune de ces nappes : c'est donc une ligne double de cette développable, et l'on peut remarquer que l'intersection des plans tangents le long de FM et de FM' est la tangente en F à la focale. Réciproquement, soit F un point d'une ligne double de la développable; par la tangente en F à cette ligne on peut mener deux plans tangents au cercle de l'infini; ces plans sont aussi tangents à la développable, et, par suite, ils touchent la quadrique en deux points M et M'. Soient I et I' leurs points de contact avec le cercle de l'infini; les droites IM, IM' sont des génératrices du cône isotrope de sommet F qui touchent la quadrique aux deux points M et M'; donc ce cône est bitangent à la quadrique et F en est un foyer.

D'une manière générale, on appellera focales d'une surface (ou d'une courbe) quelconque les lignes doubles de la rfeVe/o/>/>a6/e circonscrite à cette

surface (ou à cette courbe) et au cercle de l'infini. Cette définition a été proposée par M. G. Darboux en 1864 {Comptes rendus de l'Académie des Sciences).

473. Appliquons ces considérations à une quadrique. Parmi les quadriques inscrites à la développable circonscrite à cette quadrique et au cercle de l'infini, se trouvent, outre le cercle de l'infini, trois quadriques dégénérées en coniques; ces coniques sont précisément les focales.

Les coniques du faisceau tangentiel défini par l'équation

(X2m2-h62(;2 4 c2tv2 ,-2 [ X («2 , p2, (^2 ) = O,

autres que le cercle de l'infini, correspondent à X = — «2, X = — 62, X = — c2. On voit, en effet, que le discriminant se réduit à (X -+- a''-) (X-h è'^)(X -1- c^ ). Si l'on pose X = — c^, par exemple, on obtient

Cette équation représente la focale située dans le plan des x, y.

Quadriques homofocales.

474. On appelle quadriques homofocales deux quadriques ayant les mêmes focales.

Soit

xi. yl ^2

l'équation d'un ellipsoïde; les quadriques homofocales à cet ellipsoïde sont les quadriques inscrites à la développable circonscrite à cet ellipsoïde et au cercle de l'infini; l'équation tangentielle d'une de ces quadriques est donc

(a2+X)if2^(62 + X)p2 ^(c2 + X) w2,.2=o,

( t, par suite, l'équation ponctuelle est

On verra de même que l'équation

^2 ^ yl

représente une famille de cônes horaofocaux.

475. Théorème. — Il passe par tout point trois quadriques homofocales à une quadrique à centre donné : un ellipsoïde, un hyperholoïde à une nappe et un hyperholoïde à deux nappes.

FOCALES. — QUADRIQUES IlOMOFOCALES. 445

Eli oITct. l'équation

a trois racines réelles Xj, X2, X3 ; si l'on suppose a > 6 > c, on a

Xi donne un hyperboloïde à deux nappes, X^ un hyperboloïde à une nappe cl X3 un ellipsoïde.

47G. Coordonnées elliptiques. — On a, d'après ce qui précède

^l , rf> . ^ , -(X-x,)(X-x,)(X-X3)