X-i-a^ 1-hb- X-Hc2 (X -Ha=')(X + 62)(X-+-c

En appliquant la théorie de la décomposition des fractions rationnelles eti éléments simples, on trouve immédiatement

— è2)(aî— 62) '

)rc2+X2)(c2-+-X3)

Les coordonnées d'un point quelconque peuvent donc s'exprimer au moyen des trois paramètres Xi, Xj, X3 qu'on nomme les coordonnées elliptiques de ce point. A chaque système des valeurs Xi, X», X3 correspondent huit points, sommets d'un parallélépipède rectangle.

477. Qiiadriques homofocales à un paraboloïde. — L'équation langentielle d'un paraboloïde étant

pv^-\- gw^— iru = o, le faisceau des quadriques liomofocales a pour équation tangentielle

\u^-\-{p -^'k)v--\-{q -^ \)w- — iru — o, et, par suite, pour équation ponctuelle

—^ r- H ;r IX X = 0.

jo -H X q -\-h

On voit qu'il passe par chaque point trois de ces surfaces; en appelant X,,

X.2, X3 les trois racines correspondant à un point (a^o, Jo- -o)j et en supposant

/) > <7, on a

X, < — /? < X2 < — g- < Xj ;

on obtient ainsi trois paraboloïdes dont l'un est hyperbolique, celui qui correspond à X = X2.

De l'identité

yl zl (X-X,)(X-XO(X-X,)

• r- -i- r- IX Q — A=— ^—— ir— j

p-hk q-\-k [^p -^l){q -hk)

on déduit

EXERCICES

1. Trouver les focales d'un cylindre du second degré; d'un système de deux plans.

2. Le plan qui passe par un foyer et par la directrice correspondante est normal à la ligne focale et coupe la quadrique suivant une conique qui admet ce point pour foyer et cette droite pour directrice.

3. Le carré de la distance d'un point au centre d'une quadrique est égal à la somme des carrés de trois des axes des quadriques homofocales passant par ce point.