Deux quadriques homofocales se coupent à angle droit

5. Le lieu du pôle d'un plan donné par rapport à un système de quadriques homofocales et une droite perpendiculaire à ce plan.

6. Trouver les surfaces homofocales à une quadrique donnée et tangentes à un plan donné.

7. Démontrer que les axes d'un cône circonscrit à une quadrique sont les normales aux quadriques homofocales à la proposée et passant par son sommet.

8. Les plans qui passent par les deux lignes focales réelles d'un cône, et par une génératrice du cône font des angles égaux avec le plan tangent au cône le long de cette génératrice.

9. Les cônes de sommet donné, circonscrits à une famille de quadriques homofocales, sont homofocaux et leurs focales sont situées sur les quadriques de la famille qui passent par son sommet.

10. On peut mener deux quadriques homofocales tangentes à une droite. Chercher l'angle des plans tangents.

FOCALES. — QUADRIQL'ES HOMOFOCALES. 44?

11. Oïl donne une famille de quadriques à centre et homofocales. D'un point pris dans un de leurs plans principaux, on mène des normales à ces surfaces. On demande :

i" De trouver et de construire le lieu des pieds de ces normales;

■i" De déterminer l'enveloppe des plans tangents menés aux quadriqucs par les pieds des normales.

12. Trouver le lieu des sommets des trièdrcs irirectanglcs dont les arêtes sont tangentes à une quadrique.

13. On nomme points correspondants de deux quadriques homofocales à centre dont les axes ont pour longueurs ia, 'ib, 2c; ia', 'lô', ic' deux points dont les coordonnées vérifient les équations

Chercher tous les points qui correspondent à un point donné sur l'une des surfaces et situés sur les surfaces de même espèce.

li. La somme des carrés des distances au centre de deux points situés sur deux ellipsoïdes homofocaux. est égale à la somme des carrés des distances au centre des deux, points correspondants.

15. La distance de deux points situés sur deux ellipsoïdes homofocaux est égale à la distance des deux points correspondants. (Ivory.)

IG. Que représente l'équation Xj -\- À» + ^a = const. (476).

17. Trouver le lieu des directrices d'une quadrique; cas d'un cône.

18. Trouver le lieu des cubiques des normales issues d'un point P relatives à un système de quadriques homofocales.

19. Trouver la limite des focales d'une quadrique à centre dont un axe tend vers zéro.

20. Foyers et directrices de Vellipse sphérique. — Si l'on coupe une sphère par un cône ayant son sommet au centre de la sphère, les focales du cône coupent la sphère en quatre points, deux, à deux diamétralement opposés, et les plans directeurs, lieux des directrices, la coupent suivant deux arcs de grand cercle; le plan des deux focales coupe la sphère suivant un grand cercle; en considérant l'une des ellipses sphériques déterminées on obtient deux foyers intérieurs et deux directrices correspondantes.

Démontrer les théorèmes suivants :

%\. Le rapport des sinus des distances sphériques d'un point d'une ellipse sphérique à un foyer et à la directrice correspondante est constant.

22. La somme des rayons vecteurs sphériques qui joignent un point quelconque d'une ellipse sphérique à ses deux foyers intérieurs est constante.

448 CHAPITRE XXIX. — FOCALES.

23. La tangente à l'ellipse sphérique fait des angles égaux avec les rayons vecteurs.

24. La somme des angles qu'une tangente quelconque à l'ellipse sphérique fait avec les arcs cycliques (intersection de la sphère avec les plans cycliques du cône supplémentaire au premier, menés par le centre) est constante.

2o. Les portions d'une tangente à l'ellipse sphérique comprises entre le point de contact et les arcs cycliques sont égales.

26. Les deux tangentes sphériques que l'on peut mener d'un point de la sphère à une ellipse sphérique font des angles égaux avec les rayons vecteurs qui joignent ce point aux deux foyers.

27. Le rayon vecteur mené d'un foyer à un point quelconque partage en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs menés du même foyer aux points de contact des tangentes à l'ellipse menées par ce point.

28. Si l'on mène un grand cercle sécant quelconque, les portions de ce grand cercle comprises entre l'ellipse sphérique et les deux arcs cycliques sont égales.

29. Si par deux points d'un arc cyclique on mène des tangentes à une ellipse sphérique, la corde de contact divise cet arc cyclique en deux parties égales.

30. Le produit des sinus des perpendiculaires sphériques abaissées d'un point d'une ellipse sphérique sur les deux arcs cycliques est constant.

31. Le produit des sinus des perpendiculaires menées des deux foyers sur une tangente à l'ellipse sphérique est constant.

32. Les quatre points où les deux arcs cycliques sont rencontrés par deux tangentes sont sur uu même petit cercle.

33 Le quadrilatère ayant pour côtés les rayons vecteurs menés des foyers à deux points de l'ellipse sphérique est circonscriptible à un petit cercle. (Voir Briot et Bouquet, Complément de la Géométrie analytique.)

34. Lieu des centres des ellipsoïdes de révolution dont les extrémités de trois diamètres conjugués sont trois points donnés A, B, C.

— La section du cône asymptote par le plan ABC est une conique déterminée. Le lieu se compose des focales de cette conique.

SECTION PLANE D UNE QUADRIQUE