A" G" IV
iv h 0
d'où, à l'aide des notations adoptées,
Gela posé, si, sans changer la direction des axes de coordonnées, nous prenons 0) pour origine, les équations de la section deviennent
ux -h vy -^ wz = o ; mais, en remarquant que
^fk + yfy-o-^ zfl^ = — i\{ux-\-vy-\-wz),
on peut écrire ainsi les équations de cette courbe :
( 7 ) ux -\- vy -\- wz = o.
Soit wA un axe de la section. La tangente AT au sommet A est perpendiculaire à w A ; elle est donc dans le plan tangent en A à la sphère de centre w et de rayon coA, et comme elle appartient aussi au plan tangent en A à la quadrique, c'est la tangente au même point à la courbe commune à ces deux surfaces. Il résulte de là que le plan sécant est tangent au cône ayant pour sommet le point w et pour directrice cette courbe commune. Réciproquement, si le plan sécant est tangent à ce cône, la droite AT tangente en A à la courbe commune à la sphère de rayon w A et à la quadrique est dans le plan sécant; c'est donc la tangente en A à la conique et, comme elle est perpendiculaire au rayon de la sphère, wA est un axe de la conique,
Or, si l'on appelle r la longueur toA, l'équation du cône que nous venons de définir est
/■2cp(a7, J, Z) -+- /C(a72 4- j2 f-^2) = O.
La condition pour que le plan (m, v, w, h) soit tangent à ce cône est
SECTION PLANE d'uNE QUÀDRIQUE. /}5i
Telle est l'équation aux carrés des demi-longueurs d'axes de la section.
Si les coordonnées étaient obliques, il faudrait remplacer x^ -h y'^ -\- z^ par
a^î l^2 | -2 f 2j'5 cosX -4- 2 50^ cosfjL -H 2ay cosv et, par suite, B, B', B'
par B H — ^ cosX, B'h cos u, B" -+- -^ cosv.
Pour obtenir la direction de l'axe correspondant à une racine de cette équation, il suffit de remarquer que cet axe est la polaire du plan sécant par rapport au cône, puisque ce plan est tangent au cône; les équations de ojA sont donc
r-<f'j; •+- 9.kx '''?/ ■+- ''-^T '"^ ?3 -H aArz u V w
Le problème est entièrement résolu; mais on peut disposer les calculs de la manière suivante. Eu introduisant un paramètre S' et posant — = — S, on peut remplacer les équations précédentes par celles-ci :
(lo)
On a donc
d'où
o\. — 2 S a:* -H 2 S' « = o , Oy — iSy -\- 1^' V = o, '5- — 2 S 4; -f- 2 S' <p = o ,
(A — S)a7-hB'>H-B'--+-S'tf =0, B"arH-(A'— S)x + B^-f- S'f' = o, B'a; + BJ-^(A"— S)^ + S'(v = o, ux -ir vy -\- wz = o ^
Cette équation se déduit d'ailleurs de l'équation (8), en y remplaçant —
par — S. On démontre aisément que l'équation (12) a ses deux racines réelles; en effet, le déterminant (12) est le discriminant de la forme
o{x,y, z) -H it{ux H- (•/ -+- wz) — S(.r2 -i-y2 -4- z"-).
Si l'équation (12) avait une racine imaginaire a -+- bi, on aurait
( o{x,y, z) -+- it{ux -H vy -+- wz) — (a -4- bi) (x- -h y^ -+- z-)
/ s (P ^ P'02 + (Q -h q'I)^ + (R -^ R'iP,
P, P', ..., R' désignant des polynômes linéaires à coefficients réels. Le système P'=o, Q' = o, R'=o admet des solutions dans lesquelles toutes les inconnues ne sont pas nulles. Soit x', y' , z', t' une de ces solutions. On ne
peut pas supposer x' = y' ^ z' = o, car l'identité précédente donnerait, pour a; = o, y = o, z = o, t = t' : P^ + Q^ -^ R^ — o , c'est-à-dire P = o, Q = o, R = o; ce qui est impossible, car l'un au moins de ces polynômes doit contenir un terme en t, puisque s'il en était autrement, en appelant/)', q', r' les coefficients de t dans P', Q', R', le coefficient de t^ dans le second membre de l'identité (i3) serait égal à — (p'^ -H q'^ -r- r'^), ce qu'on ne saurait admettre, le premier membre ne contenant pas de terme en t^. Il résulte de là que le coefficient de i, qui est égal à — b(x'^ -4- j'^ -+- -s'^ )j devant être nul, on a è = o. En remplaçant S par une racine de l'équation (12), les équations (11) se réduiront à trois et détermineront les rapports cp'.y'.z'.S', et, par suite, donneront la direction de l'axe correspondant. On peut remarquer que les équations (10) donnent
es', z w
Si l'on revient aux axes primitifs et si l'on remarque que
<o'jr-.r„ ^fx —/.'•„ = /^ + 2 X «/.,
l'équation précédente devient
àf
dx
dy
àf àz
X — Vo u
y—yo V
Les axes de la section sont les droites communes au plan sécant et au cône représenté par l'équation (i5). La forme de cette équation montre que ce cône est le cône des normales à la quadrique issues du point co. On voit que ce cône contient la normale au plan sécant mené par w, puisque pour tous les points de cette normale deux colonnes du déterminant sont proportionnelles; donc le cône des normales contient la normale au plan qui coupe la quadrique suivant une conique dont le point d^ émission des normales est le centre.
On peut déterminer autrement les axes. En effet, soit S une racine de l'équation (12) et soient a, p, y les paramètres directeurs de l'axe correspondant; le second axe étant dans le plan diamétral conjugué à la direction a, p, Y, les coordonnées d'un point de cet axe vérifient l'équation
(A — S)a-hB"P M-B'Y-(-S'a = o, B"a+(A'— S)P + By -h SV = o, B'a-f-Bp-i- (A" — S)Y-+-S'Hf=o.
d'ailleurs
SECTION PLANE D UNE QUXDRIQIJE. Les équations de cet axe sont donc
B' B A"— S iv
ux -^ vy -^ wz -\- h = o.
479. Cas particulier. — Supposons que la quadrique soit un ellipsoïde rapporté à ses axes de symétrie et que le plan sécant soit un plan diamétral.
L'équation du cône passant par l'intersection de l'ellipsoïde et de la sphère concentrique de rayon /• étant
la condition pour que le plan («, i^, w) soit tangent à ce cône est a^u^ b^v^ c^w"^
c'est l'équation aux carrés des demi-longueurs d'axes de la section.
Si r désigne une racine de cette équation, l'axe correspondant a pour
équations
T(r^--a^) yUi-b^-) z{r'--c^-)
a-ii b-v c^w
Supposons maintenant que le plan sécant soit défini par l'équation
ux -{- vy -f- «' 5 -f- A = o ;
les coordonnées du centre de la section sont déterminées par le système
ro
et, j)ar suite,
k — ji^o,yoi ^0) —
L'équation du cône devient
l'équation aux carrés des demi-axes est donc
rt*«s b^v* c"- «'^
el les équations de l'axe deviennent, par rapport aux axes de symétrie de J'ellipsoïde,
Si A = o, on a ^ = — I ; les équations (rg) et (20) se réduisent aux équations (17) et (18).
480. Problème. — Sur chaque diamètre d'un ellipsoïde on porte une longueur OM égale à Vun des demi-axes de la section diamétrale perpendiculaire à ce diamètre; trouver le lieu de M.
Soient x, y, z les coordonnées de M; le plan perpendiculaire à OM a pour
équation
Xa? + Y y -H Z^ = o,
en outre
et
/•2 — a2 "^ r^'—b"- "*" r^'—c"- ~ °' L'équation du lieu est donc
«2^2 hlyl c'^z^ ^
^ ' a^2-^j2-H22 rt2 "+" ip2^^2 4 -2^2 "^ .r 2 -H /2 ^1 ^2 c^ ~ ^ '
c'est la surface d'onde de l'ellipsoïde ayant pour équation
«2^72-1- fj^yl-^ c-Z^ — I =0,
dont nous avons trouvé une autre définition (203).
Les deux ellipsoïdes que nous venons de considérer sont polaires réciproques par rapport à la sphère concentrique de rayon un. Leurs surfaces d'onde sont aussi polaires réciproques par rapport à la même sphère.
En effet, considérons un plan tangent en M à la surface d'onde S; le point de contact M' du plan polaire de M est sur la perpendiculaire OP abaissée du centre de la sphère sur le premier plan, et, si x' , y', z' sont les coordonnées de M' et /-' sa distance au centre, l'équat,ion du premier plan étant (203)
ax -h ^y -i- Y-5 = V, on a
JC2 p f-
donc le lieu de M' a pour équation
rt2(a;-2-|j/2 L;;2^[ (^2(^2^j>^2^^2j i c2(a72-i- JK'" -h 5^) — I
SECTION PLANE D UNE QUADRIQUE
On passe de S à S' en changeant «, 6, c en -> t > -; ce qui démontre la
abc
proposition.
Pour plus de détails sur la surface d'onde voir Traité de Géométrie de Bouché et de Comberousse (Paris, Gauthier-Villars).
Deuxième cas: Section parabolique.
481. Nous regarderons une section parabolique comme limite d'une section elliptique ou hyperbolique; il suffit de supposer qu'une racine de l'équation (12) tende vers zéro : l'axe qui lui correspond grandit indéfiniment. L'autre axe a pour équations
B' B A' iv
= o, UT-hVy-hWZ-i-h^O.
Il reste à déterminer le paramètre/) de la parabole. Soient S, S' les deux racines de l'équation (12), on a
lim — = lim — ^T7 —
kSS'
Or l'équation (12) développée s'écrit
[u^-i- p2-i- (^2) S2 — [(A -+- A'-l- A")(«f2-h f 2-H tv2) — cp(M, if, w)] S "+- *(^^, v, w) = o,
ASS' F(M; V, w, h)
La racine S tend vers zéro, S' a pour limite
on a donc enfin
(Ml-K;«-f-n»ï)[— F(t/,o, w,h)Y
J'ai emprunté ce calcul à M. G. Kœnigs {Leçons de l'Agrégation classique).
482. Autre méthode. — Nous indiquerons rapidement la méthode suivante, qui nous a été communiquée par M. E. Borel. Cette méthode ne sup-
pose connue aucune propriété des quadriques et pourrait servir à établir l'équation tangentielle, la théorie du centre, celle des diamètres, des axes, etc. Faisons un changement de coordonnées et prenons deux axes rectangulaires dans le plan sécant; nous poserons
X = X(,-\- aX-h a'Y, jk = JKo + ^X + 6'Y, z = Zq -h cX — c'Y,
avec les conditions
(i) uXo-^^yo+ wzq-]- h = o,
(2) ua -\- cb -h vcc = o,
(3) ua'-h i>b'~h wc' = o,
(6) aa' -\- bb' -\- cd — o .
L'équation donnée /(a?, y. ;s) = o devient
X2 cp(a, è, c) + Y2cp(a', b' , c') + XY (a ^, + b ||, -+- c ^,
^x(af + b^-^cPl-^Y(a'^+b'f-^c'f)+fi..,y,..,) = o. V dxo djo àzj \ dxo dyo àz^J
Pour que la section soit rapportée à ses axes, il faut poser
^'^' "' àxo dyo dzo '
, df ,, df ,df
' axa dyo dz^
des d^ (Jcp
^"^ da' db' de'
Les carrés des longueurs des axes sont
cp(a, è,c) cp(a', 6',c')
Les équations (2), (3), (7), (8) donnent
El El Èf
àxQ dyo dzp ^ U V w
Ces équations et l'équation (i) permettent de calculer aisément x^, yoi ^0 et
Les équations (2), (6), (9) donnent
- -r-s = Sa'-i- Xm, - -f, = S//-1- àp, - -i-, —Se' -i-Aw,
2 da 1 db 2 de
SECTION PLANE d'l'NE QUADRIQUE. 4^7
S et X étant douv indéterminées; d'où l'on tire
On aura S en éliminant a', b' , c' , X entre les équations
- T-^ — ba — / M, 2 da
- —S — bc — Kw, 1 de
lia' -i- vb'-h wc' — o.
On retrouve ainsi l'équation en S déjà obtenue, etc.
Foyers de la section.
483. Pour trouver les foyers de la section, on remarque que l'on peut calculer les carrés a-, b^ des demi-axes de la section, et, comme on sait former les équations des deux axes, il suffira de déterminer l'intersection de ces deux droites avec la sphère ayant pour centre w et pour rayon /a'^ — 6*.
Voici une autre méthode. Soit F un foyer de la section; les tangentes FM, FM' à la section, issues de ce point, sont des droites isotropes. D'autre part, ces droites appartiennent au cône de sommet F circonscrit à la quadrique; par conséquent, le plan de la section est un plan cyclique de ce cône. Réciproquement, si le plan sécant est un plan cyclique du cône circonscrit à la quadrique et ayant son sommet en un point F de ce plan, les tangentes à la section issues de F sont isotropes, F est un foyer de cette section. Il s'agit d'exprimer ces conditions. Soient .^i, yi, z^ les coordonnées d'un foyer F; nous poserons, pour abréger,
^ T. ^/ df df ùf
Q ^ ux -+- vy -\- wz -+- h.
Le cône de sommet F, circonscrit à la quadrique, a pour équation
Si le plan Q est un plan cyclique de ce cône, on pourra déterminer S de façon que
//i-P^-Xt^QR,
R z= o représentant un plan passant par F et a étant le premier membre de l'équation d'une sphère de rayon nul ayant son centre au point F.
L'équation précédente peut s'écrire ainsi
Or P^-t- QR = o représente un cône ayant son sommet en F et tangent au plan Q; toute la question revient à déterminer cci, jki, ^i, S, de façon que l'équation
représente un cône tangent au plan sécant, le point {cci, yi, Zi) étant assujetti à être dans ce plan.
On doit d'abord poser (i) uxi-h i>yi-h wzi+ h — o.
La condition pour que l'équation précédente représente un cône est
C + Sa^i C'+SjK, G"+Szi D — S(^|+jf-i-^?)
Mais ce déterminant peut prendre une autre forme; en ajoutant aux éléments de la dernière colonne ceux des trois autres multipliés respectivement par Xi, jKi, -Si, puis cela fait, en traitant de la même façon les lignes, on obtient
G -+- Sxt
2 àyi
2 OZi
14/ I ^/ 2 dxi 2 dyi
I àf r
Les coordonnées du sommet du cône doivent vérifier les équations suivantes :
(A — S)a7 -I- B"jK -+- B'z + G -H S^i = o,
B"a7 + (A'— S)jK + B^4-G'-i-Sji = o, B'^ + By -4- ( A"— S).s + G"-)- S^i = o, ux -^ vy -\- wz -\- h — o\ ce qui donne une deuxième équation
A — S B" B' G + S:ri
B" A'— S B G'h-Sji
B' B A"— S G"+Sz,
SECTION PLANE d'uNE QUADRIQUE. 4^9
En ajoutant aux éléments de la quatrième colonne ceux des trois autres, multipliés respectivement par Xi, yi, Zi, on obtient, en tenant compte dq l'équation (i),
lî'
•i. dxi •i. dz\
Pour exprimer que le plan de la conique est tangent au cône, il suffit d'exprimer maintenant que le plan («, v^ ip, o) est tangent au cône parallèle ayant son sommet à l'origine, ce qui donne
L'équation (4) est l'équation que nous avons déjà obtenue en cherchant les axes de la section. Considérons l'une des racines de cette équation; en remplaçant dans les autres équations S par cette racine, les équations (i) et (3) représentent une droite, si l'on regarde x^^ yx, Z\ comme des coordonnées courantes; l'équation (2) représente une quadrique, les points de rencontre de cette droite et de cette quadrique sont deux foyers; on aura les deux autres en remplaçant S par l'autre racine de l'équation (4).
