F'" = F"U = [F(TS)] U = F[(TS)U

Les deux transformations T(SU) et (TS)U, appliquées à une même figure quelconque F donnant la même figure F'", sont identiques. c. Q. F. d.

4. Si F' est la transformée de F par T, nous désignerons par T-* la transformation qui remplace F' par F; par définition, les égalités

F'=FT, F = F'T-i

sont équivalentes; la transformation T~"i est dite la transformation inverse de T.

Considérons, dans un espace E, une figure F et sa transformée F' par une transformation S. Appliquons à l'espace E une transformation T qui remplace F et F' respectivement par cp et «p'; la substitution a qui remplace o par cp'est dite la transformée de S par T. Cherchons son expression symbolique au moyen de S et de T. Pour passer de o à <p', on peut passer de cp à F, ce qui exige la transformation T-i, puis de F à F' à l'aide de S, puis de F' à

9' à l'aide de T; on a donc

a = T-iST.

On peut remarquer qu'il est possible démultiplier les deux membres d'une telle égalité symbolique par une même transformation à condition de faire les deux multiplications à droite, ou toutes deux à gauche. On a d'ailleurs

TT-i = T-iT = i,

en désignant par i la transformation identique, c'est-à-dire la transformation qui remplace chaque figure par elle-même ('). On a donc

S = TaT-i,

(' ) On désigne une telle transformation par i parce que ce symbole peut être supprimé dans un produit.

c'est-à-dire que S est la transformée de a par la transformation T-* inverse de T. Nous aurions pu obtenir ce résultat directement en observant que T-* remplace ^ et ç' respectivement par F et F'.

5, On dit qu'un ensemble de transformations forme un groupe lorsque le produit de deux transformations quelconques de l'ensemble appartient à l'ensemble. Nous supposerons toujours de plus, quoique cette hypothèse ne soit pas indispensable, qu'un groupe renferme les transformations inverses de toutes les transformations qui y figurent. Il en résulte qu'il existe toujours une transformation d'un groupe qui, multipliée par une transformation quelconque S du groupe, en reproduit une transformation également quelconque T; c'est la transformation S-* T ou la transformation TS~* qui appartiennent chacune au groupe, puisque T et S~* lui appartiennent.

Il est clair que l'ensemble des transformations qui laissent invariable un élément donné forme un groupe; car le produit de deux de ces transformations laisse aussi cet élément invariable et appartient par suite à l'ensemble. Il en est de même pour la transformation inverse d'une transformation de l'ensemble. L'élément ainsi invariable est dit un invariant du groupe; nous aurons à revenir sur cette définition pour l'éclaircir par des exemples.

Nous terminons ici ces généralités, peut-être un peu abstraites; on pourra utilement les revoir et les mieux comprendre après avoir achevé la lecture de la Note.