II. — Transformations homographiques
Avant d'étudier, en général, les transformations ponctuelles, nous allons en approfondir un cas particulier des plus importants, celui des transformations homographiques, que nous considérerons successivement sur la droite, dans le plan et dans l'espace.
Transformations de la droite.
6. Nous fixerons les positions d'un point M sur une droite par deux coordonnées homogènes Xi et x^, proportionnelles aux distances de M à deux points fixes Ai et A2 de la droite, appelés points fondamentaux. Nous poserons
pa7i=a|.MAi, pj72 = 32.^1 A2;
p est un facteur arbitraire, a, et 7.% des facteurs déterminés appelés paramètres de référence ; les coordonnées sont normales si ai = «j.
Au lieu de donner Xi et x^^ on peut donner leur rapport — = x, qui ne dé-
pend pas de l'arbitraire p.
On appelle transformation homo graphique celle qui est définie par une relation de la forme
, ax-\-h j 7 X
X = > j ad — oc ^ o,
ex -\- d
ou, ce qui revient au même, par les deux relations
x\ = axi ■+■ bxi, x'^ = cxi -H dxi.
L'ensemble des transformations homographiques forme un groupe, car il est clair qu'en effectuant successivement deux transformations homographiques on obtient une transformation homographique. Ce groupe est dit à trois paramètres, car l'ensemble des transformations qui le composent dépend de trois paramètres arbitraires, à savoir les rapports a'.b'.c'.d. Nous l'appellerons souvent, pour abréger, groupe projectif.
On voit aisément que de l'équation
/c\ ' ax-k-h
on déduit, a, [3, y» "^ étant des nombres quelconques,
Y 37-1-0 pX -\- CJ
et que, si ao — ^y n'est pas nul, il en est de même de mq — np. Il en résulte immédiatement qu au point y = correspond Je point y — — - et au
point -S = le point s'= ; d'ailleurs, j^ et z sont différents %\ y' tl z'
le sont, et réciproquement.
L'équation (i) peut dés lors s'écrire, en posant A- = — ij
Nous avons supposé a, p, y» S assujettis à la seule condition que ao — Py ne soit pas nul ; donc /' et z' sont les coordonnées de deux points quelconques distincts, et, par suite, y, y' et z, z' sont les coordonnées de deux couples quelconques de points correspondants. Donc, l'équation (2) a lieu sous cette seule condition; la constante k dépend du choix des deux couples.
Il est aisé de la déterminer, si l'on connaît un troisième couple t, t' de points correspondants; on doit avoir
on en déduit la valeur de k\ l'équation de la transformation homographique
peut alors être mise sous la forme
Sous cette forme, elle est susceptible d'une interprétation géométrique très simple : elle exprime que le rapport anharmonique de quatre points quelconques est égal au rapport anharmonique des quatre points transformés.
Nous voyons ainsi que, pour déterminer une transformation homographique, il est nécessaire et suffisant de donner trois couples de points correspondants; il existe toujours une transformation ho mo graphique transformant trois points, distincts, donnés, en trois autres points, également distincts, choisis arbitrairement.
7. Nous appellerons invariants d'une figure F par rapport à un groupe de transformations ponctuelles une fonction des coordonnées des points de F qui a la même valeur pour la figure F et pour les diverses figures qui s'en déduisent par les transformations du groupe. Il est clair que si I, I', ... sont des invariants, toute fonction de I, I', ... sera aussi un invariant. Nous appellerons système d'invariants fondamentaux de F un ensemble d'invariants distincts tels que tous les invariants s'expriment au moyen de ceux-là.
Nous allons rechercher un système d'invariants fondamentaux, par rapport au groupe projectif, de la figure F formée de n points en ligne droite. Je dis qu'un tel système est donné par les n — 3 rapports anharmoniques de « — 3 de ces points x,,, x^, . . ,, x,i avec les trois autres Xx, arj, x^. Il est bien clair d'abord que ces rapports anharmoniques sont des invariants; car si x\, x'^, . . . , x'„ sont les points transformés de a?i, x^, ...,x,i par une transformation homographique quelconque, on a, par exemple.
**• i. «27 4j "^ 'A ~~* '■^ 9 Oui^ *^2 ^3 ^2
Je dis maintenant que tout invariant s'exprime au moyen de ceux-là; soit
f{OCi, Xi, . . ., x,i)
un invariant; on a, par hypothèse,
(1) f{0Ci, Xi, ..., a?„)—f{x\, x'j, . ..,Xn).
Posons
{Xi,Xi,X3,.T!,) = p^, (Xi,Xi,X3,Xi) = p5, ..., {cCx,Xi,X3,Xn) = p„;
on aura aussi
(x\, x'i, x\, a?;) = p4, . . ., {x\, x\, rr'3, x'n) — p„.
Si nous tirons de ces relations x^, x-^. . . . , x n', sc\, . . . , x'^ et si nous por-
tons ces valeurs dans l'expression de l'invariant
y ( Xi, x^, . . . , Xn); nous obtenons
f(xu Xi, . . .,x,i)== F(a7i,a72, X3, p^, ..., p„), J {x i , X 2 , ••., x^) = r {x^, X^, X^, P'^, ..., pnj-
Je dis que F ne dépend pas de xi, x^, x^; en effet, on peut trouver une transformation homographique qui donne à Xi, X2, x^ des valeurs constantes quelconques a, b, c; et l'on a, par hypothèse,
f(xi,X2, ...,Xn) = F(XiXi, X3, p4, ..., p„) = F(a, b,c, pi, ..., p„);
mais F (a, 6, c, p4, . . ., p,i) est une fonction o(p4, . . ., p„), puisque a, 6, c sont des constantes; on a donc
f{Xi,Xi, ...,X„) = o(p!„ ..., pn), C.Q.F.D.
En particulier, un système de trois points n'a pas d'invariant; un système de quatre points a un seul invariant fondamental : le rapport anharmonique des quatre points.
8. Nous avons ainsi complètement défini les invariants d'un système fini quelconque de points; mais on peut considérer aussi un système continu de points : par exemple, les positions successives d'un mobile qui parcourt la droite suivant une loi donnée; x est alors une fonction d'une variable indépendante t (qu'on peut supposer représenter le temps). Si l'on fait la transformation
, . ax-^b
y sera aussi une fonction de t, et il est aisé de constater qu'il y a des fonctions de j' et de ses dérivées qui sont égales aux fonctions correspondantes de X et de ses dérivées. De telles fonctions sont dites invariants différentiels du gronpe projectif. En désignant les dérivées par des accents, la relation (i) donne
, (arf — bc)x' ^ ~ (cx^dy ' d'où
^ ad — bc \y
\/ad — bc \y'J y'^
SUE LES TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE. ^Si)
Knfin, prenant la dérivée logarithmique des deux membres,
et enfin
Chacun des deux, membres de cette égalité est V invariant différentiel le plus simple du groupe projectif ; il joue un grand rôle dans d'importantes questions d'Analyse.
Il était bien clair qu'en différentiant plusieurs fois l'équation (i) on devait finir par avoir assez d'équations pour éliminer les constantes a : 6 : c : c? et, par suite, obtenir une relation où ne figurent que x^ y et leurs dérivées. Mais ce qui est remarquable, c'est que, grâce au fait que l'ensemble des transformations (i) forme un groupe, cette relation entre x, y et leurs dérivées peut être écrite sous une forme telle que, dans le premier membre, ne figurent que x et ses dérivées et, dans le second membre, que y et ses dérivées.
Nous devons nous contenter de signaler sans démonstration ce fait important, ainsi que le suivant :
Tous les invariants différentiels du groupe projectif s'obtiennent en dérivant indéfiniment, par rapport à t, l'invariant précédent, ou en combinant entre eux les divers résultats ainsi obtenus.
Transformations du plan.
9. Dans le plan, en désignant par Xi, x^, X3 les coordonnées trilinéaires (t. I, n° 171), les formules de la transformation homographique sont
I x\ = axi -+- bx-i -4- cx^, (i) ' rr'j = a' Xx -4- b' x-i -4- c'a^n, A —
( x'^ = a" Xi -T- b"xi -4- c" j-3,
Ces transformations dépendent de huit constantes, les rapports des neuf quantités a, b, ..., c". Elles engendrent un groupe à huit paramètres, le groupe projectif. En posant Xi'.Xi'.x^— x'.y'. i , les équations de la transformation peuvent s'écrire
, ax -¥- by -4- c
^ ^ a'x-^-Oy-hc"'
nous emploierons indifféremment, suivant les cas, l'une ou l'autre de ces notations.
La transformation homographique remplace des points en ligne droite par des points en ligne droile ; on peut donc dire qu'elle remplace des droites par des droites; soient
UiX^ -+- u^x^^ u^x^— o
l'équation d'une droite et
l'équation de la droite transformée. En supposant les u multipliés par un facteur convenable, on doit avoir identiquement
Ui Xi -h U<iX-i -+- llzX-i = u\ x\ -+- u\ x\ + Jt'j x'.^ .
Remplaçant les x' par leurs valeurs tirées des formules de transformations et égalant les coefficients de Xi, x^, x^ dans les deux membres, on obtient les formules
( i<i — a u\ -H a' «2 -h a" ii\ ,
( 2 ) l U2=: bu\ -h b' «2 -+- b" u'^ ,
[ Us— C u\ H- C' «2 + C" «3 ,
qui font connaître comment se transforment les coordonnées des droites. On peut les résoudre par rapport à u\,u'^,u'^', en supprimant le facteur A, puisque les rapports seuls des u' importent, on obtient
u\ = Amj -!- Bu2 -+- Gui, «2 = A' ui -h B' Ui -T- C Us,
Mj = A."Ui-+- B" U2 -+- C" «3 .
On aurait de même
Xi = A x'i -+- A'x'^ ■+■ A"x'.^ ,
Xs= Cx\-i- Cx'^-h G"x'.^,
en désignant les mineurs de A relatifs à ses divers éléments par les grandes lettres correspondantes.
La composition de ces divers systèmes de formules est remarquable et intéressante. Ajoutons-y les remarques suivantes. Soit, identiquement, en vertu de (i),
f{Xi,X2,X3)=F(x\,X:^,x'^),
on a
df dF dx\ dF dx\ dF dx'-^ dxi ôx\ dxi dx'2 dxi dx\ dxi
àF , dF „ dF
= a -— T- -f- a -— r -t- « t-t' ox^ ox^ ox.^
. r àf df df ,,, . , c)F d¥ dV , .
cest-a-diic que -i—t -7=—» -r- se déduisent de -7—7» -r—n t—f P»'' <^'es foroxx 0x2 0x3 OXi dx^ ox'^ '^
mules semblables aux formules (2) donnant «f, Ui, «3 en fonction de u\,
«j, «3 ('). Si, empruntant une locution à la théorie des formes algébriques,
nous dénommons les x variables covariantes et les u variables contrava-
riantes, nous pourrons dire que les dérivées partielles d'une fonction, par
rapport aux variables covariantes, sont transformées comme les variables
conlravariantes. La réciproque est également vraie.
10. On appelle sous-groupe d'un f:^roupe donné un groupe comprenant une partie des transformations du groupe donné. Il est clair, par exemple, que celles des transformations du groupe projectif dans lesquelles les paramètres ont des valeurs rationnelles en forment un sous-groupe. Mais un tel sous-groupe ne peut être représenté explicitement par des équations renfermant des paramètres arbitraires; nous exclurons complètement de nos considérations les groupes de ce genre, quelle que puisse être leur importance dans les recherches algébriques et arithmétiques. Mais il est facile d'indiquer d'autres sousgroupes du groupe projectif. Par exemple, il est manifeste que les transformations qui laissent invariante une droite donnée forment un groupe; supposons les coordonnées choisies de telle sorte que cette droite soit 373 = 0; les équations de ce groupe seront
x\ = axi -r- bx-i -f- CX3, x\ = a! Xi-\- b' x-i-^ c'xs, x'-i = c"x^.
Puisque c"^o, on peut supposer 0"=! et écrire, en changeant les notations,
x' = ax -f- by -+- e,
Ce sous-groupe, que nous appellerons groupe linéaire général, est à six paramètres.
Désignons par la lettre L, avec un indice quelconque, une transformation de ce groupe, et par P une transformation déterminée du groupe projectif.
Je dis que les transformations de la forme P-^LP forment un groupe, qui est précisément le groupe laissant invariante la droite D transformée de a?3=o par la transformation P. Il est clair en effet que la transformation P-'LP laisse invariante la droite D, car la transformation P-' remplace D
(') Ce fait analytique correspond à celle propriété géométrique : la transformation homographique remplace la tangente à une courbe par la tangente à la courbe transformée. Par suite, elle remplace deux courbes tangentes par deux courbes tangentes; nous verrons que cette propriété appartient à toutes les transformations ponctuelles.
par>3= o, L laisse invariante 373 = o et enfin P la remplace par D. Inversement si S laisse invariante D, par le même raisonnement on voit que PSP~* laisse invariante 373= o; on a donc
PSP-i = L,
et par suite
S = P-iL,P.
Donc l'ensemble des transformations P-^LP est identique avec l'ensemble des transformations laissant invariante D, ensemble qui forme manifestement un groupe.
On peut voir autrement que les transformations P-'LP forment un groupe en même temps que les transformations L; on a en effet
(P->L,P)(P-iL/,P) = P-iL,(P-*P)LaP = P-'(L.La)P = P-»LyP,
si LjL/^= Ly. Cette démonstration montre en outre qu'on peut faire correspondre deux à deux les transformations de ces deux groupes, de manière que les produits de transformations correspondantes soient deux transformations correspondantes. Deux tels groupes sont dits isomorphes. De plus le groupe P-iLP est dit transformé du groupe L par la transformation P, et dans le cas oîi le groupe L est un sous-groupe d'un groupe G auquel appartient P, les sous-groupes L et P-" LP sont dits homologues dans G. Lorsque tous les sous-groupes homologues dans G à un sous-groupe L de G sont identiques à L, L est dit sous-groupe invariant de G. Le groupe projectif n'a pas de sous-groupe invariant; le groupe linéaire L, par contre, en possède un. Pour nous en rendre compte remarquons que les deux transformations
et
x" = aix' -+■ biy' 4- Cy,
y" = a\x'-^b\y'^c\, effectuées successivement, donnent une transformation de la forme
et que l'on a
X = nx -+■ [j/ -4- Y, t^' — pa' = {ab' — ba) («1 b\ — by a\ ).
D'après cela, appelant ab' — 6a' déterminant de la transformation (S), considérons celles des transformations du groupe L dont le déterminant est égal à 4-1; elles forment visiblement un sous-groupe 2 (à cinq paramètres) du groupe L; car le produit de deux d'entre elles a encore un déterminant égal à -hi; de plus, si S est l'une d'elles, et L une transformation quelconque du groupe L, la transformation L-' SL a un déterminant égal à H-i, car le dé-
terminant de L-i est l'inverse du déterminant de L puisque leur produit L-*Lest la transformation identique
a?' = ar, y' = y de déterminant -h i.
Le sous-groupe i, formé des substitutions de L de déterminant -+-1, est <lonc invariant dans L; c'est aussi un sous-groupe de G, mais il n'est pas invariant dans G. En considérant les transformations de déterminant -i- i et — i, on obtiendrait un sous-groupe invariant de L d'une nature particulière, analogue au groupe Y dont il sera question tout à l'heure.
On peut expliquer par la Géométrie les résultats précédents; l'effet d'une transformation de L est, comme on le voit par la formule donnant l'aire d'un triangle, de multiplier les aires par ab' — ba'.
Si ab' — ba' =: i, les aires restent invariables; les transformations satisfaisant à cette condition forment donc un groupe.
M. Un sous-groupe des plus intéressants de L et par suite de G est le f^roupe des mouvements que nous désignerons par F. Supposons les axes rectangulaires; chacune des deux transformations
( a7' = arcoso — ysino-f-a,
^ y' — X sincp -hy cos© -i- b,
( ar' = 37 coscp -f- y sino H- a, (^ y = X sinç — y coscp -t- b
remplace manifestement une figure par une figure égale, avec cette différence que la transformation (i) donne une figure qui peut s'obtenir en faisant simplement glisser la première sur son plan, tandis que la transformation (2) exige un retournement. L'enseAble Fi des transformations (i) forme un groupe (à trois paramètres) comme la Géométrie et le calcul le montrent aisément. L'ensemble Fj des transformations (2) ne forme pas un groupe; il est, en effet, aisé de voir que le produit de deux transformations F2 est une transformation Fj. Mais l'ensemble Fj -h r2 où F forme un groupe, dit groupe complexe, parce qu'il offre cette curieuse particularité de ne pouvoir être représenté par un seul système d'équations, mais seulement par l'ensemble des systèmes (i) et (2). C'est le groupe des mouvements; nous allons dire un mot de ses invariants, ne pouvant, sans excéder les limites que nous nous sommes tracées, parler des invariants du groupe projectif général.
Les transformations de F remplacent toute figure par une figure égale, mais située différemment; ses invariants sont donc évidemment les fonctions des coordonnées dont la valeur ne dépend que de Xa Jigure elle-même et non de sa situation dans le plan ou, ce qui revient au même, du choix des axes rectangulaires. La plus simple et en même temps la plus importante de ces fonctions est le carré de la distance de deux points
{Xi-XiY + iyi — yiY.
Il est évident géométriquement que cette expression est invariante lorsqu'on transforme respectivement xi, yi ; x.2, y<^. par une même transformation de F. La Géométrie nous montre de plus que l'invariance de cette expression caractérise ce groupe F, car deux figures, dans lesquelles toutes les distances sont égales, sont évidemment égales, comme pouvant être décomposées en triangles égaux. Il en résulte qu'on pourrait de la connaissance de cet invariant déduire par le calcul tous les autres invariants de F; nous nous contenterons de cette indication, qu'il serait trop long de développer et rechercherons directement les invariants différentiels de F. Nous pouvons, soit supposer x Ql y fonctions d'une même variable /, soit regarder^ comme fonction de x] nous nous en tiendrons à ce dernier point de vue, laissant le premier à développer à nos lecteurs; de plus, pour plus de netteté, nous nous bornerons à la considération des transformations de Fj, que nous écrirons
X = X. cos <y — Y sin cp -1- a,
y = X sincp -I- Y coscp -\- b,
réservant les accents pour indiquer les dérivées respectives de ^ et Y par rapport à x et X. On a les relations, évidentes par la Géométrie et aisément vérifiables par le calcul,
dx^-hdy^ = {i-hy^)dx^ = dX^+dY^ = (i-hY'^)dX\ arc tang^y' = arc tangY'-h o ;
la seconde relation donne, en tenant compte de la première,
d , I d ,„\ dX
ine V = -
^^arctangy=^^arctangY'j^,
y" Y- /TTy^
Nous obtenons ainsi l'invariant différentiel le plus simple du groupe Fi ; il
est du second ordre; sa propriété d'invariance est d'ailleurs évidente, si l'on
se reporte à sa signification géométrique; on sait, en effet (t. II, § 23) qu'il
n'est autre chose que la courbure de la courbe donnée. On obtiendra d'autres
invariants en dérivant de nouveau par rapport à iP et X les deux membres de
. , ., , • I . 1- dX , .
la dernière équation et en multipliant par -y—; on peut écrire
/, +y2 dx [^^ ^^,^^|J /i + Y'2 ^^ L(i + Y'2)tJ *
En posant
ds = \/i-^y^dx, ^S = y/i -H Y'2(/X,
on peut dire que le nouvel invariant
~i dx
„J ds\\\)
s'obtient en dérivant le préeédent par rapport à s. On démontrerait aisément ([ue tous les invariants difl'érentiels de Fj s'expriment au moyen du rayon de courbure R et de ses dérivées par rapport à l'arc s\ il est d'ailleurs évident ^géométriquement que ces diverses expressions sont des invariants de Fj puisqu'elles ne dépendent que de la courbe donnée et non de sa situation dans le plan.
Pour une conique, il est clair que l'on peut prendre comme invariants fondamentaux les carrés des longueurs des demi-axes ou de leurs inverses, ou mieux leur somme et leur produit, qui sont des fonctions rationnelles des coefficients. En adoptant les notations habituelles, les invariants d'une conique par rapport au groupe Fi sont, en axes rectangulaires.
La considération des invariants du groupe Fi est le fondement des importantes recherches de M. Lie sur les hypothèses fondamentales de la Géoinotrie.
Transformations de l'espace.
12. Nous bornerons là pour le moment nos remarques sur le groupe projectif dans le plan; nous y reviendrons et en signalerons de nouveaux sous- Liroupes en le considérant à un autre point de vue; mais, auparavant, nous allons dire quelques mots du groupe projectif dans l'espace; c'est un groupe à quinze paramètres, formé des transformations (homographiques) représentées par les formules générales
x\ = aXi -t- bXi -+- cx-i -r- dxi, x'^ — a' Xi -\- b'xi -+- c'Xi -t- d'xif, .-r, = a'xi-i- b"Xi -f- c"x3 -h d"xi,, x\ = a" Xi -+- b'" Xi H- c"'xz -i- d"'xi„
En posant Xi'.Xi'.Xz'.Xt,=^x'.y'.z'.\^ on peut les écrire sous la forme ax -\- by -^cz -\- d
a^i, ar2, Xz, x,, désignent des coordonnées tétraédriques quelconques. On formerait, de même que dans la Géométrie à deux dimensions pour la droite,
les équations de transformation des coordonnées d'un plan dont nous écrirons l'équation sous l'une des deux formes
uiXi -+- «2^2 •+■ ^3^3 + «4374 = G,
UX -f- Vf -+- WZ -\- i =0.
On a, par exemple,
et des équations analogues.
Supposons, d'autre part, qu'en vertu des formules de la transformation on ait identiquement
/(^i,^2,^3,a?4) = ¥{x\,x'^,x'.i,xl); on en conclut
àf àY , dY „ d¥ ,„ d¥
r~ = ^ T-r -+- « T-r + a -T-T H- a'" -r— 7-; oxi oxi ax.2 ox.^ dx\
c'est-à-dire que les dérivées partielles d'une fonction des variables covariantes sont transformées comme variables contravariantes ; la réciproque est également vraie.
Pour faire une application de ce principe, prenons la formule qui donne en axes rectangulaires le cosinus de l'angle de deux surfaces
On a
en posant
cosV =
AfJ)is.s)
^J'^ ' dx dx dy dy âz dz
Supposons que l'on effectue une transformation homographique quelconque; il s'agit de savoir ce que devient l'expression de cosV. Il nous suffit pour cela de rechercher ce que devient l'expression
car, en vertu des propriétés des formes quadratiques, on saura facilement alors ce que devient l'expression
dans laquelle u, v, w, U, V, W sont les coordonnées de deux plans. Or l'équation
«2-4- (;2|- (.pi = o
représente le cercle imaginaire à l'infini; ce cercle devient une conique qui a une équation de la forme
cp(ai, Ui, «3, Ui) = 0,
SUR LES TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE, et l'on a évidemment
«2-+- Ç.2-+- (p2 = Xç(M|, U-x, «3, M4);
on en conclut immédiatement qu'en posant
fi^^y^ il) = F {Xi,Xi, 373, 374),
on a
\(JvF/ Voix/ V^^^ / \àxi 0x2 OXi Oxi, df dg , df dg , df d. ^
dxi
l /oF do dx dx ' dy (Jy ' ùz dz a | Ox^ dG
, . . ào , , , . , . ,, , <^G ,
en désignant par — ^ la dérivée partielle par rapport a , — de
dxi
/dG dG dG dG\
On a donc
cosV =
' \dx dx /
iM
"^[dx) "^[dx)
en posant
Cp(X) = Cp(Xi,X2,X3, X4),
,CXiY)=i(x,i^....).
Nous indiquons à la fin du paragraphe comment on peut se servir de cette formule en considérant les transformations homographiques comme des changements de coordonnées.
13. Disons maintenant quelques mots des sous-groupes du groupe projectif.
Le plus simple est le groupe linéaire général; c'est un groupe à douze paramètres, formé des transformations
x' = ax -h by -\- cz -ir d, y = a'x-¥-b'y-\-c' z-^-d"^ z' =a"x-v- h" y 4- c" ^ -f- d\
qui laissent invariant le plan 3:4= 0. Ce groupe admet comme sous-grouj>e
invariant le groupe formé des transformations pour lesquelles A=±i;on
pourrait répéter ici pour les volumes, en supposant les coordonnées carlé-
NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. 32
^gS NOTE
siennes, ce que nous avons dit dans le plan pour les surfaces. Ce groupe admet des sous-groupes homologues auxquels on peut appliquer ce qui a été dit dans le cas de deux variables.
Enfin, le groupe des mouvements, en coordonnées rectangulaires, est formé des transformations du groupe linéaire pour lesquelles chaque élément du déterminant A est égal au mineur correspondant. Ces transformations dépendent de six paramètres; les a, b, c, a', b' , c', a", 6", c" sont liées par six relations indépendantes {voir l. III, n°36); on peut les exprimer au moyeu des trois angles d'Euler, ou au moyen de trois paramètres (ou quatre paramètres figurant d'une manière homogène) par les formules d'Olinde Rodrigues (voir aux Exercices).
Si chaque mineur de A était égal et de signe opposé au mineur correspondant, la transformation remplacerait chaque figure par une figure symétrique (non superposable).
Les invariants du groupe des mouvements jouent, dans la théorie des propriétés géométriques des groupes et des surfaces, un rôle très important que peut faire pressentir l'étude sommaire faite en Géométrie plane, mais qu'il serait trop long de développer.
Emploi des transformations de coordonnées.
lA. Nous allons terminer ce qui concerne les transformations projectives du plan et de l'espace en indiquant de quelle utilité peut être pour leur étude l'emploi des transformations de coordonnées. Si nous n'avons pas placé au début ce point de vue des plus importants, c'est parce qu'il est spécial à la transformation homographique et ne peut s'étendre à toutes les transformations; or nous nous sommes surtout attaché à signaler, à propos de cette transformation particulière, les idées générales susceptibles d'extension.
Remarquons d'abord que les formules les plus générales de transformations des coordonnées ayant la même forme que la transformation homographique, on peut écrire toute transformation homographique :
en supposant que Xi, x^, x%, Xi^ d'une part, Xi, Xj, X3, X4 d'autre part, désignent des coordonnées tétraédriques par rapport à deux tétraèdres dijfférents. On en conclut qu'étudier les transformées homographiques d'une surface, par exemple, représentée par l'équation
f{Xx,X2,Xz,X^) = G,
revient à étudier les diverses surfaces que représente cette même équation, lorsque le tétraèdre de référence varie de toutes les manières possibles.
Par exemple, dans l'application que nous avons faite au n" 12, nous pourrions, au lieu de supposer que nous transformons les surfaces en d'autres
surfaces, supposer que les surfaces restent les mêmes, mais que nous prenons des coordonnées quelconques. L'équation
tp(«l, «2, «3, «4) =0
représente alors le cercle de l'infini par rapport à ce nouveau système de coordonnées et, sous cette seule hypothèse, l'angle de deux surfaces en coordonnées tétraédriques est donné par la formule
cosV
ùxi/ ' \dXi
15. Il est souvent commode d'utiliser ce rapprochement entre les transformations homographiques et les changements de coordonnées, lorsqu'on a à composer deux ou plusieurs transformations homographiques.
Nous allons d'abord résoudre la question suivante : Quelle relation y a-t-il entre les deux transformations
l x\ — a xi -i- bxi -h CX3 -+- dxi, , (s) { x'. = a'xi -f- . . . ,
et
[ X't =aXi-hbX2 (S) ! X'^ = a'Xi-+- ....
dans lesquelles les coefficients sont les mêmes, mais où les x et les x' désignent les coordonnées par rapport à un certain tétraèdre, tandis que les X et les X' désignent les coordonnées par rapport à un autre tétraèdre? II est clair qu'en désignant par H la transformation
a7i = Xi, X2 = Xi, 373 = X3, 3-4 = X4, on a
