Considérons, par exemple, la transformation

x\ = a Xi -\- b Xi -i- c x^ -+- dxi, ,

et cherchons les points qu'elle laisse invariants; on doit avoir

x\ = <sxi, x'^ = '^'^i, ar'j = (JXs, x\ = <sxi^.

On en conclut sans peine que a est racine de l'équation du quatrième degré

Nous n'étudierons que le cas, évidemment le plus général, où cette équation a ses racines distinctes; nous les désignerons par ai, c^, as, a4. On voit aisément alors que quatre points distincts formant un véritable tétraèdre restent invariables par la transformation. Dès lors, si l'on prend ce tétraèdre comme tétraèdre de référence, les équations de la transformation deviendront

X'i = CTiXi,

<^2 ^2 , X'a = aa X3 , X'^ = a4 X4 ,

comme il est aisé de s'en rendre compte.

Il importe de ne pas confondre ce résultat avec le fait, beaucoup moins important, signalé au début du n" 14: (la forme x^ = Xi, x^ = X2, x^ = X3, xi, = X4); ici les X et les X' désignent les coordonnées par rapport à un même tétraèdre.

Recherchons, par exemple, en nous bornant toujours au cas où les a sont distincts, si, en répétant /n fois une transformation homographique, on peut obtenir la transformation identique

X'i = Xi, X2 = X2J Xj — X3

X',. = Xi,

Il est clair que l'on doit avoir pour cela

SUR LES TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE. 5oi

Comme on peut, en multipliant tous les X' par un facteur constant, multiplier les (j par un facteur constant, nous pourrons supposer que l'on a

Comme les c sont distincts, on devra prendre m au moins égal à quatre, et pour les (T quatre racines m'™*" distinctes de l'unité. Il ne faudrait pas se hâter d'en conclure que la transformation est imaginaire, car rien ne suppose le tétraèdre de référence réel. Par exemple, soit m = 4; on pourra prendre

x; = /Xi, x;=-^x„ x;=:-X3, x; = x,

et en posant

X^ — x-+-iy^ \i — X — ij, X3 = z, Xi = ; = i, on aura

x' -^- iy = i{x -^ iy), x' — iy' = — i{x — iy), z' = — z, t'=zt = i,

c'est-à-dire