III. — Transformations ponctuelles
17. Une transformation ponctuelle dans l'espace est représentée par des équations de la forme
On suppose que ce système d'équations peut être résolu par rapport à x, y, z; on démontre qu'il est pour cela nécessaire et suffisant que le déterminant fonctionnel -r-r^^-î-^-^ — ^ ne soit pas identiguement nul; les points pour à{x,yyZ) r n f f
lesquels il est nul sont les points singuliers de la transformation. En un
point non singulier, on voit que si l'on regarde ce, y, z comme fonctions d'un
^ dx' dy' dz' , /. . i- . • . . , dx
paramètre t: —7-» -t- et -7- sont des fonctions linéaires homogènes de —r 5 ^ dt dt dt ° dt
-T" > -7- à déterminant non nul. On en conclut qu'à deux courbes ou deux dt dt ^
surfaces tangentes correspondent deux courbes ou deux surfaces tangentes,
et de plus que l'ensemble des tangentes et des plans tangents en deux points
(') Dans ce paragraphe, sauf indication expresse du contraire, nous supposerons, pour plus de netteté, les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Nos lecteurs verront aisément quels calculs et raisonnements s'étendraient à des coordonnées quelconques.
5o2 NOTE
correspondants sont en correspondance homographique ; d'où l'on peut tirer plusieurs conséquences intéressantes {voir aux Exercices).
En général, si/, g, h sont des fonctions rationnelles de en, y, z,k un point {Xjy,z) correspond un seul point {x',y,z')', mais à un T^oinl{x',y',z') correspondent plusieurs points {x,y,z). On appelle birationnelles les transformations telles qu'à un point (a?',^', 5') ne corresponde aussi qu'un t^oi\\1{x, y,z){}). En nous bornant, pour plus de simplicité, au cas de deux variables, considérons donc la transformation
Ua — — } y ; J
Tn{x,y) •" rn{x,y)
cp, ij; et rn étant des polynômes en x, y de degré au plus égal à n. Il est clair qu'à un point {x',y') correspondent, en général, n^ points x,y, intersections des deux courbes
tp — x'w = o, ■^ — y m =^ o.
On peut présenter ce résultat d'une manière plus symétrique. Soit
(i) ux' ■+■ vy' -\- w — o
l'équation d'une droite; il lui correspond la courbe
(2) u<^{x,y) + v^{x,y)+ww{x,y) = o.
Si la droite (i) passe par un point fixe P', u, v, w sont liés par une relation linéaire; la courbe (2), de degré n, dépendant d'un paramètre au premier degré passe, en général, par n'^ points fixes, qui correspondent au point P'. Cette conclusion est en défaut, si, quels que soient u, c, w, la courbe (2) passe par r points fixes, qui sont alors communs aux trois courbes,
cp = o, <|^ = o, m = o.
En dehors de ces r points, n- — ;' seulement correspondent au point P'. Les r points sont d'ailleurs singuliers et correspondent, si l'on veut, à un point quelconque {x',y'). Car cp, (|;, m étant nuls, x' et j/' sont indéterminés; mais on peut en faire abstraction, et à un point {x', y') correspondent alors n2 — /■ points a?, ^. Si, en particulier, r = /i^— i (2), un seul point {x', y') correspond au point {x, y) : la transformation est hirationnelle ; l'Algèbre nous apprend, en effet, que, dans ce cas, on peut déterminera:, y en fonction rationnelle de x\ y'. Un exemple particulièrement simple nous est fourni par les relations
(') Dans l'espace il y aurait à distinguer entre les transformations biunis^oques et les transformations birationnelles ; ce n'en est point ici le lieu.
(') On ne peut avoir r = n'', sinon les trois courbes 9 = 0, 4' = o> c3 = o coïncideraient.
SUR LES TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE. 5o3
OU
xjr ^ xy
M.Cremona, qui a étudié particulièrement les transformations birationnelles auxquelles on donne quelquefois son nom, a montré que toute transformation birationnelle à deux variables pouvait être ramenée à un produit de transformations (T) et de transformations homographiques. Ce théorème, que nous ne démontrerons pas, donne un intérêt particulier à l'étude de la transformation (T) qu'on appelle transformation quadratique. Par des raisonnements analogues à ceux du n° lo, on montrerait aisément que la transformée de (T) par une transformation homographique est de la forme
ou, ce qui revient au même,
X'=YZ, Y' = ZX, Z' = XY,
les coordonnées étant maintenant des coordonnées trilinéaires transformées des coordonnées primitives par la transformation homographique (*).
18. Dans le cas où le triangle de référence admet pour sommets les deux points cycliques, cette transformation devient
