X -\- iy

et enfin

x-^iy

x — iy

X— ly

X^-fry^

En y ajoutant une symétrie par rapport à Ox :

formule de la transformation par rayons vecteurs réciproques ou inversion. La théorie générale des transformations ponctuelles planes nous conduit ainsi

(') Pour une étude sommaire de cette transformation et son application à un problème intéressant, on pourra lire: Solution géométrique de la question posée en 1874 à l'École Polytechnique (^Nouvelles Annales de Mathématiques, 1889).

5o4 NOTE

naturellement à cette importante transformation. Dans l'espace, son importance est due surtout à ce remarquable théorème de Liouville, que c'est, avec les déplacements, la seule transformation conservant les angles. Nous allons étudier tout particulièrement l'inversion dans l'espace; nos lecteurs verront aisément ce qui, dans cette théorie, peut être transporté au plan, mutatis niutandis.

Inversion.

19. L'inversion (*), par rapport à un /»d^e pris pour origine, avec une />ai5sance positive R^, est représentée par les formules

x'^ -^ y- -^ z''auxquelles on peut joindre la suivante

+ jK2-f-^2

R2jr

qui est, comme nous le verrons d'après M. Darboux, de la plus grande importance dans cette théorie.

Cette inversion est géométriquement définie par la sphère S de rayon R; on peut dire que deux points correspondants M et M' sont sur un même diamètre de cette sphère et divisés harmoniquement par ses extrémités; ou que M et M' sont des sphères de rayon nul coupant la sphère S suivant un même cercle (imaginaire); ou que tous les cercles passant par M et M' coupent S orthogonalement.

Un avantage important de cette définition géométrique est de rendre intuitif le résultat suivant :

Transformons la sphère S par une inversion ou un déplacement, de manière qu'elle devienne une sphère S; les deux points M et M' deviennent jx et [jl'; ce& deux points sont inverses par rapport à S. En effet, les cercles passant par \l et [x' coupent orthogonalement 2. Si nous désignons par T la transformation qui remplace S par S et S et S' les inversions par rapport aux sphères de même nom, on a

S = T-iST,

(') Sur tout ce qui concerne l'inversion, on lira avec le plus grand fruit l'Ouvrage classique de M. Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces, Ouvrage (l'ailleurs important à bien d'autres titres et auquel nous avons fait de nombreux emprunts. On pourra consulter aussi Kœnigs, Leçons de l'Agre'gation classique de Mathématiques.

c'est-à-dire que la transformée d'une inversion par une transformation T (Test une inversion ou un déplacement) admet pour sphère fondamentale la transformée de la sphère fondamentale de l'inversion considérée.

20. Supposons maintenant que T soit une inversion dont le pôle soit sur S; ii est alors un plan et les points (x et jx' sont tels que ces cercles, passant par (i. et [jl', sont orthogonaux à I. : [i. et \i' sont symétriques par rapport au plan. La symétrie par rapport à un plan (ou inversion plane) apparaît ainsi comme un cas particulier de l'inversion (ou symétrie par rapport à une sphère).

Ceci posé, considérons deux sphères S et S' se coupant suivant un cercle réel (1), et soit M un point de ce cercle. En le prenant pour pôle de l'inversion T, S et S' deviendront deux plans P et P', se coupant suivant une droite D qui ne passe pas par M. En continuant à désigner une symétrie par rapport à une sphère ou un plan par la même lettre que celte sphère ou ce plan, nous avons

P = T-«ST, P'=T-«S'T et, par suite,

PP'= T-iSS'T', SS'=TPP'T-i.

Or, le produit PP' (yig'. 43) de deux symétries planes peut être étudié très simplement par la Géométrie. Figurons les plans P et P' par leurs traces sur un plan perpendiculaire à leur intersection D; soit fi.' le symétrique de [i par rapport à P, jx" le symétrique de jx' par rapport à P'; fx" est transformé de {X par la transformation PP'. On voit immédiatement que l'angle (xD[x" est égal, en grandeur et en signe, au double de l'angle PDP .11 en résulte que si Pi et Pj sont deux plans passant par D et faisant le môme angle que P et P'et dans "'-•-]„

le même sens, on a

PjP; =PP'.

Désignons par Sj et S\ les transformées de Pi et P'j par la transformation inverse de T {-); ces sphères passent par l'intersection de S et S'; on a

Si s; = TPi p; T-' = TPP'T-» = SS'.

Fig. 43.

(') Le cas où ce cercle serait imaginaire n'est pas distinct de celui-ci et peut se traiter de même; si l'on veut éviter d'introduire une inversion à un pôle imaginaire, on peut transformer les deux sphères en sphères concentriques S et S' et l'on voit aisément qu'on peut remplacer S et S' par des sphères concentriques S, et 'Z[dont les rayons aient le même rapport. En faisant passer S,, par exemple, par le pôle, le raisonnement s'achève aisément.

(') L'inversion étant une transformation involutive, c'est-à-dire telle que si M correspond à M', M' correspond à M, elle coïncide toujours avec la transformation inverse. Il est cependant préférable de les distinguer pour la clarté et la généralité du raisonnement.

5o6 NOTE

D'ailleurs, l'une des sphères Si ou S\ peut être prise arbitrairement (de même que l'un des plans Pi ou P', ). Ainsi l'on peut remplacer deux inversions successives par deux autres inversions successives par rapport à deux sphères passant par l'intersection des deux premières, et dont l'une peut être choisie arbitrairement. En particulier, on peut supposer que l'une des sphères Si ou S'i se réduit à un plan; il suffit que le plan Pi ou F\ passe en M. Donc, étant données deux inversions S et S', on peut déterminer deux sphères S2 et S3 et deux plans P2 et P3 passant par leur intersection, tels que l'on ait

bS = ^2 P2 ^^ P3 ^3-

Cette détermination n'est d'ailleurs possible que d'une seule manière (•).

Nous avons exclu le cas où ces deux sphères S et S' seraient concentriques; dans ce cas, il est clair que le produit SS' équivaut à une transformation homothétique. Remarquons, d'autre part : 1° que deux symétries planes P équivalent à un déplacement (2); 2" qu'une transformation homothétique et un déplacement ou une symétrie plane équivalent à une transformation homothétique de pôle arbitraire et un déplacement; 3° qu'une inversion et une homothétie de même pôle, effectuées dans un ordre quelconque, équivalent à une inversion de même pôle; 4" que deux homothéties équivalent à une inversion.

Définition géométrique du groupe G.

21. Désignons maintenant par S les inversions sphériques, par P les inversions planes, par D les déplacements et par H les homothéties; je dis que l'ensemble des transformations