SS' = S'S

dans le cas et seulement dans le cas oà les sphères S et S' sont orthogonales.

Si les sphères F et F' se coupent sous un angle a qui soit une partie aliquote de tt, il en est de même des plans P et P' en lesquels on peut les transformer. On voit dès lors aisément qu'en combinant de toutes les manières

5o8 NOTE

possibles les inversions S et S', on obtient un nombre limité d'inversions par rapport à des sphères faisant entre elles des angles égaux à la plus grande commune mesure entre a et tc. Si, au contraire, a et tt étaient incommensurables entre eux, on obtiendrait en combinant S et S' une infinité de transformations.

Ces remarques sont fort importantes pour la recherche des sous-groupes du groupe G renfermant un nombre limité de transformations, ou sousgroupes yi/ii5 discontinus, suivant la terminologie en usage (i). Nous voyons que les sphères ou plans fondamentaux des diverses symétries figurant dans ces groupes doivent nécessairement se couper suivant des angles commensurables avec ii. Ce théorème simplifie beaucoup les recherches de ces sousgroupes; nous ne nous occuperons cependant pas du cas général (2) et nous nous bornerons à celui où le groupe ne renferme pas de mouvements non décomposables en symétries faisant elles-mêmes partie du groupe et où il ne passe pas plus de deux sphères ou plans fondamentaux par un même cercle; ces éléments fondamentaux se coupent alors nécessairement à angle droit.

Nous pouvons avoir deux sphères orthogonales, qu'une inversion transforme en deux plans rectangulaires, ou trois sphères orthogonales deux à deux qu'une inversion convenable transforme en un trièdre trirectangle. Une quatrième sphère peut être orthogonale aux trois faces du trièdre ou, par transformation, à trois sphères orthogonales deux à deux. Peut-on avoir une cinquième sphère orthogonale à ces quatre-là? Il est aisé de le constater par le calcul dans le cas du trièdre trirectangle; si

(i) a;2-HjK2-f-z2— R2= o

est une sphère orthogonale aux plans x = o^ y = o, z = o, la sphère

est orthogonale aux mêmes plans et à la sphère (i). C'est d'ailleurs la seule sphère remplissant ces conditions; elle est imaginaire, mais définit une inversion réelle (3). Nous obtenons ainsi un cas particulier du système de cinq

(') 11 semble regrettable que M. Lie ait employé le mot fini (endlicli) pour désigner des groupes (continus) renfermant une infinité de transformations (à un nomhvQ fini de paramètres); de sorte que nous soyons obligé d'employer deux épiihètes pour éviter toute confusion. Pour cette terminologie, Cf. : Poincaré, Théorie des groupes fuchsiens {Acta Mathematica, t. I); Lie, Théorie der Transformationsgruppen, t. L

(^) On peut consulter : Jordan, Sur les groupes de mouvements (Annali di Matematica, 1868) : Klein, Vorlesungen ûber das Icosaeder ; Goursat, Sur les surfaces admettant les plans de symétrie d'un polyèdre régulier {Annales de l'École Normale, 1887).

(') En combinant cette inversion avec celle que définit la sphère (1), on obtient une homothétie dans laquelle le rapport d'homolhétie est — i, c'est-à-dire une symétrie par rapport à l'origine; c'est la seule homothétie pouvant figurer dans un groupe fini discontinu de transformations réelles, car on voit aisément que le rapport d'homothétie doit être une racine de l'unité, Cf n° 16.

SUR LES TUANSFOnMATIONS EN GÉOMÉTRIE. OOg

sphères orthogonales; on obtiendrait le plus général en faisant varier R- et en transformant par inversion.

Relativement aux groupes que forment ces diverses inversions, on voit aisément que les symétries par rapport à deux, ou trois plans rectangulaires, forment un groupe, de même que les inversions par rapport aux cinq sphères. En combinant convenablement les inversions par rapport à quatre sphères orthogonales, par exemple

on retrouve \di cinquième. Nous obtenons ainsi des groupes renfermant deux, trois ou cinq inversions. Il existe des figures invariables par rapport à chacun de ces groupes; il est aisé de former l'équation générale des figures symétriques par rapport à deux ou trois plans rectangulaires et de la transformer par inversion. Pour les figures invariables par rapport à cinq inversions, ou anal lag ma tiques de cinq manières différentes, nous renverrons à l'Ouvrage cité de M. Darboux; en appelant l'attention de nos lecteurs sur la théorie des pôles secondaires, où ils trouveront une intéressante application des considérations précédentes.