IV. — Coordonnées pentasphériques
23. Nous allons revenir au groupe G déjà signalé et chercher une expression analytique de ses transformations. Les formules déjà rappelées de l'inversion peuvent s'écrire
M ' a ' '" ~ a ' u ^ eu posant
D'autre part, pour une rotation autour de l'origine, on a
x' — ax -\- by -k- cz,
u= u, pour une translation
x'=zX-\-Xo, y'—y-i-yo, z'=Z-hZo,
m'= m -f- iXfiX -h ly^y -\- izoZ-irxl-\-yl-^ zl, et enfin, pour une homothétie,
x'—kx, y'=ky, z'=kz, u'=k-u. Nous voyons que ces diverses transformations peuvent être considérées
5lO NOTE
comme des transformations homographiques aux quatre variables x,y.,z^ u. Ces transformations homographiques ont la propriété commune que la relation
entraîne
Autrement dit, ces transformations laissent invariante l'équation
Pour plus de symétrie, nous rendrons cette équation homogène et écrirons x^-{-y-i-z^= ui>; les formules de l'inversion pourront alors s'écrire
D'ailleurs x\y', z\ u', v' peuvent être multipliés par un facteur constant ; les coordonnées rectangulaires du point sont — , > — , , — , • Les formules relatives
à une translation s'écrivent alors
x'=zx-]rXQV, y'=y+yç^v, z'=z + ZqV,
( u ~ u-^iX()X -JriyQY -\-iZoZ-^ {xl-{-yl-\-zl)v, v'=v,
et les formules relatives à une rotation autour de l'origine
x' = ax -+- by -T- cz,
z=ax-\-oy^cz,
Définition analytique du groupe G.
2-4. Je dis que toute transformation homographique aux cinq variables x, y, z, u, V, ayant la propriété de laisser invariante la forme quadratique
xi-i-y^-{-Z-— UV
peuvent s'obtenir en combinant entre elles des transformations des types (i), (2), (3), Remarquons que les x', y\ z', u', v' n'étant définis qu'à un facteur près, on peut supposer ce facteur choisi de manière que l'on ait identiquement
x^ + y^-hz^— ui> = x'^-hy'^+z'^—u'ç',
en vertu des formules de la transformation donnée
y' — aux-^
«62j>'+--- -l-assP,
dont le déterminant est nécessairement différent de zéro.
Supposons d'abord ags^o et considérons la transformation appartenant au type (2)
Nous. obtiendrons TTj = S, la transformation (S) étant la suivante 3?'= biix-i- bny -+■ biiZ + bi,^u,
JK" = 621 a? -H ^'227 H- ^23-S -t- ^24 ", (S) \ 5"= 631^+ 6327 4- 633^4- 634 M,
U" = 641 37 -+- 6427 + ^43 2 -t- *4i " 4- 645 t', V" = bsiX H- 6527 + ^53-3 -+- 654 « ^- ^SSt^-
D'ailleurs 655= «55 est différent de zéro. Nous avons, par hypothèse, identiquement
a»"2 -4- y 2 + z"^ — u" v"= x^-+-y^ + z^— uv.
En écrivant que le coefficient de p^ est nul dans le premier membre comme dans le second, nous obtenons 645655=0 et, par suite, 645 = 0.
En écrivant maintenant que les coefficients de vx^ vy, vz sont nuls, nous obtiendrons 641 = 642 = 643 = o.
D'ailleurs, en égalant les coefficients de uv, on a 644635= 1; donc 644 pé o.
Soit Tj la transformation du type (i) :
On aura ST2=S' et la transformation S' s'écrira, en tenant compte des relations précédentes,
Nous considérons maintenant la transformation T3 du type (2) :
\ x, = x"'-by,v"', yt = y'"-br.v"', z^ = z"'-b,,v'% ( «1= a -h..., Vi^v ,
5l2 NOTE
et nous aurons S'T3= S" :
Xi = ax -\-by -\- cz, yi = a'x-^b'y-^c' z, (S") -; Zi=a"x-\-b"y^c"z,
I Ui= ax -f- '^y -h ^(Z -i- ou ■+■ V,
D'ailleurs l'identité
x\-^ y\-\- z\ — uiVi = Xi + y^-\- z^— uv
montre que l'on a
de sorte que la transformation S" s'obtient en combinant une transformation du type (3) avec une transformation du type (i).
Nous avons donc prouvé que la transformation donnée (T) était, avec l'hypothèse a^^^ o, un produit de transformations des types (i), (?.) et (3). Dans le cas ofi «55 serait nul et O45 différent de zéro, on ferait, au préalable, une transformation (i); enfin, si «45 était nul en même temps que «55, la transformation
faite avant la transformation (S), ramènerait à considérer «44 et «54; enfin, si l'on avait aussi «44=^54 = 0, il suffirait de faire une transformation du type (2) pour les rendre différents de zéro, à moins que l'on n'ait aussi
ce qui serait absurde.
La discussion précédente serait d'ailleurs considérablement simplifiée si l'on supposait les transformations réelles; car il suffirait de considérer le coefficieijt de v^ pour montrer que, si l'on a «45= «55= o, il en résulte
«!5+«l5-^«35=o et, par suite,
«16 = «25 = «35 = «45 = «55 = o> ce qui est absurde.
Nous avons ainsi défini, pour déterminer la position d'un point dans l'espace, un système de cinq coordonnées homogènes x,y, z, u, v qui ont la propriété fondamentale suivante : elles sont liées par la relation quadratique
x^-\-y^-+- z^= uv,
et toute transformation homographique qui laisse invariante cette relation équivaut à une combinaison d'inversions et de déplacements, en un mot, à une transformation du groupe que nous ayons appelé G. Cette dernière propriété est très importante dans l'étude des propriétés anallagmatiques des figures.
SUR LES TRANSFORMATIONS EN GÉOMÉTRIE. 5x3
c'cst-à-diic des propriétés qui se conservent par l'inversion et par le déplacement; en effet, quand on emploie ces coordonnées particulières, on est ramené à étudier les propriétés des fonctions de x, j, z, u, v qui se conservent par certaines transformations homographiques.
Formules fondamentales en coordonnées pentasphériques.
2;). On peut généraliser cette définition des coordonnées et obtenir la notion la plus générale des coordonnées pentasphériques, due aussi à M. Darboux. Posons
.js ;JK = «213^1
I V = a^iXi-^-.
les a étant des quantités réelles ou imaginaires quelconques, dont le déterminant n'est pas nul clXi^x^, ...,x^ étant les nouvelles coordonnées. On a identiquement
x'^ -i-y'^-r- Z^ — UV = O (Xi, X-î, . . ., a^ô),
ç étant une forme quadratique aux cinq variables ari, a^j, ..., vTg que nous appellerons ybrme /o/ic^ame«to^e. En effet, les cinq coordonnées homogènes d'un point sont nécessairement liées par la relation
D'autre part, il est clair que si une transformation S effectuée sur x, y,z, u, V laisse invariante la forme x^-^y^-^z^ — uv, la transformation T-'ST effectuée sur arj, ...,x^ laissera invariante la forme tp. Une telle transformation équivaut à une composition d'inversions et de déplacements. Pour établir les formules relatives au système de coordonnées x^yX^, .. -,^75, il suffira de >e servir des formules, aisées à établir directement, relatives au système x,y, z, u, v et des propriétés d'invariance des formes quadratiques. Cherchons, par exemple, la formule donnant l'angle de deux surfaces représentées par les
équations
Si l'on suppose p = i, ce qui est permis, puisque les équation? sont homogènes, on aura
/(x,y,z, x-'-i-yi-i-z'-, i)^. /x{x,y,z),
et l'angle des deux surfaces fi— o, ffi = o est donné par la formule, déjà écrite au n» 12,
cos6 = ^-^"^'^ .
NiEWENGLOWSKi. — G. an., III. 33
5l4 NOTE
Or on a
dx dx du Ox dx du
Donc
vyiiéW \J dx dx ïj dx dx du ij dx ^ du ij
le signe V de Lamé indiquant une sommation étendue aux trois axes de
coordonnées.
Les fonctions f et g étant homogènes en x, y, z, m, t^, on a, en vertu des équationsy = 0,^ = 0,
àf df df
dx du dv
x'f + u'^/^.^-f=o dx du dv
et, de plus,
x^ -h j'^ -h- z'^ = Mp; il en résulte
dx dx \J dx dx du\ du~^ dv
à g l àf df\ , df dg
du \ du dv I du du
ou, en faisant p = i,
Oàf^dg, ^dld^ ^d£dj- ^d£d^__^d£d g^Jfà g^ l3 dx dx dx dx dy dy dz dz du dv ' dv du
On trouverait de même
o(àAy (ify^i^iy--(iLy^A^i^x
0\dxj \dxj \dyj \dz J ^ du dv
Or, si nous désignons par
la forme quadratique
X2-t- Y2H-Z2— 4UV, adjointe de la forme
x^-^ y^-^ z- — uv,
ces formules peuvent s'écrire
dx j \dx dy dz du dv }
et
O dsp dx 'i \dx dx I
en posant
Or nous avons vu que si l'on a identiquement, en vertu de ces transformations liomogiapIiif[U('s (T),
,ir(>. y, -, «, f^) — 0(3^1, .rj, . . ., 3^5),
les dérivées -"^ j •••> -2- sont transformées comme variables coAt//-ara/-/a«/es. Or. si la transformation T remplace
