PHI

O (j-l. Xi. . . ., 3^5 ),

la I raiisformation adjointe remplace

H' = X2 V2-^ Z2— 4UV

|tiii- l;i fonction adjointe de ci :

Il on résulte que l'angle des deux surfaces F = o, G = o est donné par la formule

:20. Cette formule va nous permettre d'étudier de plus près la signification géométrique de notre système de coordonnées. Remarquons qu'en résolvant les formules T, et faisant «^ = i, on trouve, par exemple,

Xx — a( a-2 -i- j2 ^ -2 ) i^ f^y | Y^y ^ 5 - | £.

Nous voyons que j"i = o représente une sphère Si et que la coordonnée .r, «l'un point est proportionnelle à la puissance de ce point par rapport à la -phére Sj ; on a

.r,— oKiSi. r., = ,oK.>S.,. r„— îK,S,,

5l6 XOTE

p étant un facteur arbitraire, les K des constantes données et Si, . . ., S5 les puissances d'un point par rapport aux cinq sphères Sj, . . ., S5 (i). Une équation linéaire

ai a^i -f- a2 iC2 -t- • • • -i- as ^5 = G

représente évidemment une sphère (ou un plan); cherchons l'angle qu'elle fait avec la sphère coordonnée

Xi = o.

Nous aurons

cos6i

/*(«!, ...,a;)<i>(i,o, ...,o) En particulier, si l'on pose

^(Xi, ...,X5)—'LkikXiXk (Aa== ^Ai);

on a, pour l'angle des sphères coordonnées Xi = o, x^ = o, l'expression

cosOis

V^AiiA22

Les sphères coordonnées seront donc orthogonales deux à deux quand on aura

et, par suite,

on a d'ailleurs alors

c'est-à-dire que les puissances d'un point par rapport à cinq sphères orthogonales deux à deux sont liées par une relation quadratique ne contenant pas les rectangles des variables.

Dans le cas de ces coordonnées pentasphériques rectangulaires, on a

Asa?!;

x\ Al

n /a, ai

cosOi —

v/A laf -»-... -H- A^af et, par suite,

cosOi COSO2 COSO5

/Aiai /A2a2 /A

(') On a des relations géométriques particulièrement simples en supposant K,. = jr- R. étant le rayon de la sphère S-. {Voir Darboux, loc. cit.)

SUR LES TRANSFOnMATIONS EN GÉOMÉIIUK. 5lJ

D'ailleurs on aperçoit immédiatement la relation

COS^Oi -4- cos-0.>-- . . .-^ oos^Os = •

<[ui lie les cosinus des angles d'une splièic arbitraire avec cinq splu-rcs dcu\ à deu\ orthogonales.

On obtient les formules les plus symétriques et les plus simples en suppoii«ant que l'on ait

Al = A2 = . . . = A5 = I , ■cl, par suite,

^ = xl -^ xl -+-... -h xl.

On obtient par exemple un tel système de coordonnées en posant

Xi = X,

^2 = y, .ra = z,

.x^-hy^-h z--h i . M H- ('

Les équations

371 = O, d"2=0, .r-, = 0, X!,= 0, Xi= o

représentent alors le système particulier de sphères orthogonales qui comprend trois plans rectangulaires et dont nous avons parlé plus haut. On obtiendra tous les systèmes de coordonnées pentasphériques rectangulaires en soumettant a^i, X2, . . ., 3*5 à une transformation homographique orthogonale, c'est-à-dire laissant invariante la forme

O = xl -\- Xl -i- Xl -r- Xl -\- Xl.

Nous avons alors, pour les angles que fait, avec les sphères coordonnées, la sphère

aia^i-f- «2^2-1-- • .-T- «ô-Z"» = o, les formules

cosGi = — ^ — ^ • • • •

On voit de plus aisément que l'angle de deux sphères I.oLiXi = o, -a'iXi = o est donné par la formule

cosO= /^ ' ' - = ScosQ,cose;,