Prouver que les neuf cosinus vérifient l'équation

i5m*-T-(r — 5)2+ (r' — s')^-h (r"— s" )^'+- \pq = o, où l'on a posé

p = ab' c' -^ a' b" c + a" bc\

r = ab' b" ■+■ a b" b -\- a bb' ,

r' = bc'c" -+- b' c"c -+- b" ce ,

/■*= ca'a" -+- c' a" a -\- c" aa' ,

q = a6"c' -f- a' 6c" -(- a'bc',

s = ac' a" -h o! c" c -H a" ce' ,

s' = ba' a" ■+■ b' a" a -\- b" aa' ,

s"=zcb'b" + c-'^'ô + c'^ô'. (J.vcoBi.)

Les axes sont supposés rectangulaires.

Du plan.

47. L'équation du plan est du premier degré. — Considérons un plan quelconque P {^fig. i8) et soient 0.r, Oy, Os trois axes de coordonnées. Sur la perpendiculaire N'N, menée par l'origine à ce plan, nous choisirons un sens positif, ON, et nous désignerons par a, ^, Y les angles que la demi-droite ON fait avec O j;, Oj', O;; res-

peclivenient. Soit H le point de rencontre du plan P et de la droite N'N; nous appellerons p le segment OH compté avec le signe +

si H est sur la demi-droite ON, avec le signe — , si ce point est sur la demi-droite ON'; on peut remarquer que /?, a, [3, y sont les coordonnées polaires du point H.

Le plan P est complètement déterminé si le point H est connu.

Cela posé, soient M un point quelconque, Xq, jKo, ^o ses coordonnées; la perpendiculaire abaissée de M surle plan Prencontre ce plan en un point R, et nous désignerons par t/la mesure algébrique du segment RM, d étant positif quand RM a le même sens que ON,

négatif dans le cas contraire. Si l'on projette sur l'axe W^ les deux contours équivalents OPQM et OHRM, on obtient ^ ^

d'où l'on tire

Xq cosa -^ yo cos ^ -4- -So oosy = p -\- d,

d =^ x^ cos a -1- j'o cos ^ -f- -Sq cos y

Pour que le point M soit dans le plan P, il faut et il suffît que d = o\ donc l'équation du plan P est

X cosa -\- y cos [i + 5 cos y — p = o,

ce qui prouve que l'équation d'un plan quelconque en coordonnées reclilignes est du premier degré.